Duración y Convexidad en la valoración de Bonos (Parte I)

Retomando los temas de Mercados Financieros, y apropósito de la consulta que me hiciera el otrora corredor del año Iván Juárez sobre 2 términos financieros "Duración" y Convexidad, se acercó a mi y me dice "hey Mr. Moon, ud. que es matemático, ayudame a interpretar que es la convexidad dada una duración de cartera de instrumentos que nosotros manejamos".... y aunque me gustan las mates, la parte de mate financiera no me fue inculcada a profundida, sin embargo, me entusiasmo el reto y hemos puesto manos a la obra, me puse a leer un poco y encontré un interesante artículo que tome de monografias.com y que comparto con uds. al final de la serie de 4 partes, incluiré una quinta con la interpretación que personalmente me gusta de las muchas que encontré y que creo que dejará dudas, para algunos lectores no muy diestros en las matemáticas, les sugiero pasar de las ecuaciones y concentrarse en los conceptos que son muy interesantes, todo esto es con el fin de poder predecir como se comporta el precio de los instrumentos ante posibles variaciones de los rendimientos en los mercados de valores.




1. Duración
La Duración es un indicador desarrollado por Frederick Macaulay en 1938 pero que a partir de la década de los años '70 cobró gran importancia en las Finanzas Internacionales manteniendo su vigencia hoy en día. Se la utiliza en la valoración de Bonos de dos maneras:
· Para determinar el plazo promedio del bono, y,
· Para determinar la sensibilidad del bono

En el primer caso el valor de la Duración, expresada en años, indica el plazo por vencer promedio del papel. Hablamos de promedio porque los bonos poseen algunos flujos de pago, cada uno con un plazo de vencimiento distinto, en este caso la Duración arrojará los años (o días) por vencer que en promedio presenta el bono en mención. Cabe indicar que no es un promedio simple sino un promedio ponderado, usando como ponderador al Valor Actual de cada flujo.

Lógicamente, si tenemos un papel con un solo flujo por vencer el promedio sería su mismo plazo por lo cual no es necesario hacer ningún cálculo, sino que su Duración será el mismo plazo por vencer. La Duración, también llamada Duración de Macaulay nos servirá, entonces, como un criterio adicional al momento de elegir entre distintos bonos, ya que nos dará una idea de cuán cercana está la recuperación de lo invertido en ellos. Normalmente se preferirá un bono con menor Duración.

La Fórmula de la Duración de Macaulay es:

donde:d = duración de Macaulay medida en añosVAt = Valor Actual Total del Bono, es decir, el Precio SucioVAi = Valor Actual del flujo ipvi = plazo por vencer en días del flujo i Otro indicador es la Duración Modificada, conocida en algunos textos como Volatilidad del Bono. Ésta realmente no es sino un paso previo para llegar a la Duración en Dólares, su fórmula es:

donde:dm = duración modificadaR = Rendimiento Efectivo AnualFinalmente la Duración en Dólares, que se usa para medir la sensibilidad del bono, será:

d$

donde:d$ = duración en dólaresdm = duración modificadaVAt = Valor Actual Total del Bono, es decir, el Precio Sucio. La Duración en Dólares es la Primera Derivada de la Función de Precio.Adicionalmente la Duración servirá para determinar cuán sensible es el bono, es decir, cuánto puede variar el Precio ante un cambio en el Rendimiento deseado. Sin embargo hay que realizar unos pequeños ajustes en el indicador (tal como se ha mostrado previamente) hasta llegar a la Duración en Dólares que es la que se usará para este propósito, además de que necesitaremos adicionalmente calcular la Convexidad.

2. Convexidad
Se mencionó que una utilidad de la Duración era poder determinar la sensibilidad del bono, utilizando específicamente la Duración en Dólares. Sin embargo el cambio en el Precio ante una modificación en el Rendimiento, calculado a partir de la Duración, no coincidirá con el cambio real en el Precio del Bono. Existirá una pequeña diferencia cuya explicación es matemática: la primera derivada no es suficiente para medir el cambio por lo que a medida que se usen más derivadas se irá corrigiendo esa diferencia. Por este motivo, se acostumbra a usar además la segunda derivada para ganar exactitud y ésta precisamente es la Convexidad.Este indicador, expresado en años al cuadrado, es el otro elemento a tomar en cuenta para medir la sensibilidad del Bono, aunque realmente se usará en última instancia la Convexidad expresada en Dólares.
La fórmula de la Convexidad es:

donde:c = ConvexidadVAi = Valor Actual del flujo ipvi = plazo por vencer en días del flujo iR = Rendimiento Efectivo AnualVAt = Valor Actual Total del Bono, es decir, el Precio Sucioy la Convexidad en Dólares será:

c$

donde:c$ = Convexidad en Dólaresc = Convexidad VAt = Valor Actual Total del Bono, es decir, el Precio SucioLa Convexidad en Dólares es la segunda derivada de la función de Precio.

Trabajo realizado por:
Jean Paul Loffredo Cepeda,
jean_loffredo@hotmail.com