Duración y Convexidad en la valoración de Bonos (Parte II)

3. Uso de la Duración y Convexidad para determinar la sensibilidad del Bono. Supongamos que ha invertido dinero en un bono, el cual lo compró a un Rendimiento X, puede ser que no se lo quede hasta el vencimiento sino que en algún momento lo quiera vender. Claro, el problema será a cómo lo venderá, lo cual dependerá de cómo estén las tasas de interés (rendimiento) del mercado en ese momento.Entonces surge una pregunta ¿cuánto variará el Precio del bono ante algún cambio en el Rendimiento? en ese caso, realmente se está preguntando ¿cuán sensible es su bono? para medir la sensibilidad del bono usamos precisamente la Duración y la convexidad Conocemos ante todo que el Precio de un bono está en función de su Rendimiento:

Para ser más específicos hablaremos del Precio Sucio en Dólares, lo que es igual al Valor Presente del papel, y del Rendimiento Efectivo Anual.Tenemos que tomar en cuenta, además, que en una función cualquiera:

la variación que sufrirá y cuando ocurre un cambio en x estará dada por lo que se conoce como Aproximación de Taylor:

Es decir, que multiplicaremos la variación en x por la primera derivada, más la misma variación en x elevada al cuadrado multiplicada por la segunda derivada y por 1/2, más un término de error (este último se omite en la práctica). Por tanto, si usamos ese mismo criterio para la función de Precio, reemplazando Rendimiento en x y Precio en y , tendríamos que el cambio en el Precio (Valor Actual) ante un cambio en el Rendimiento estará dado por la siguiente expresión:

Así que lo que tenemos que calcular es la primera y segunda derivada de la función de Precio, las cuales se presentan a continuación:

donde:R = Rendimiento Efectivo AnualVAi = Valor Actual del flujo ipvi = plazo por vencer en días del flujo i
Si reemplazamos esas derivadas en la expresión anterior, la de la Aproximación de Taylor, el cambio en el Precio quedaría expresado entonces de la siguiente manera:

Con esta nueva expresión, entonces, podemos estimar cuánto variará el Precio de un Bono cuando ocurra algún cambio en el Rendimiento.
Ahora bien, al primer término entre paréntesis (la primera derivada) se lo conoce como Duración en Dólares y al segundo término entre paréntesis (la segunda derivada) se lo conoce como Convexidad en Dólares, cuyas fórmulas ya se presentaron previamente.
Esos dos indicadores son los que comúnmente se presentan en la información referente a cada Bono en diversas publicaciones y vendors como Reuters o Bloomberg, porque con ellos fácilmente se puede estimar cuál será el cambio en el Precio ante un cambio en el Rendimiento, es decir, su sensibilidad. Vale indicar que algunos textos incluyen dentro de la fórmula de la Convexidad el factor 1/2, sin embargo esto no debería ser así ya que esa fracción proviene realmente de la aproximación de Taylor y no de la Convexidad en si.Otro error común es que muchas veces se menciona al resultado de la Duración en Dólares, tal cual, como el cambio en el Precio cuando el Rendimiento Efectivo cambia en un punto porcentual. Primeramente faltaría la Convexidad para obtener un resultado más exacto, pero por sobre todo, no sería cuando el cambio en el rendimiento es de un punto porcentual sino de 100 puntos porcentuales (recordemos que en la Aproximación de Taylor reemplazamos los cambios en el rendimiento en tanto por uno).

Ejemplo práctico de aplicación de Duración y ConvexidadSupongamos que nos ofrecen un Bono del Estado con un Plazo total de 10 años y amortización al vencimiento. Se lo emitió el 15 de febrero del 2002 y vence el 15 de febrero del 2012. El interés que paga el Bono es 6% anual fijo y se lo paga cada semestre. Lo compramos el 15 de junio del 2003 con un Rendimiento Efectivo del 9%.El Precio Sucio del Bono es US$ 8,521.94, expresado en porcentaje es 85.2194%.Nos interesa saber cuánto cambiará ese precio si aumentamos el Rendimiento Efectivo del 9% al 9.3%, en este caso, al hacer la nueva valoración el nuevo Precio Sucio sería US$ 8,370.74, porcentualmente 83.7074%.Si utilizamos la Duración y Convexidad llegamos a ese resultado sin necesidad de valorar nuevamente el Bono:La Duración en Dólares y la Convexidad en Dólares iniciales son: US$ -51,013.48 y US$ 414,180.36 respectivamente.Aplicamos esos valores en la expresión proveniente de la Aproximación de Taylor:

Con esa variación estimada llegamos a un Precio Sucio de US$ 8,370.76, porcentualmente 83.7076% muy cercano al valor real (83.7074%).En la práctica esa diferencia con el valor real es aceptada, si se quisiera llegar a un valor mucho más exacto, es decir, sin el término de error , se debería utilizar la Aproximación de Taylor por completo, la cual es:

Lo cual implica calcular la cuarta, quinta, sexta derivada y así sucesivamente, agregando más derivadas según se quiera ganar más exactitud.

Trabajo realizado por:Jean Paul Loffredo Cepeda jean_loffredo@hotmail.com