Duración y Convexidad en la valoración de Bonos (Parte III)

4. Apéndice #1
Cálculo de la Primera Derivada a partir de la Función de PrecioPartimos inicialmente del concepto de que se paga por un Bono siempre su Valor Actual. El Rendimiento que desee ganar el comprador del papel será la tasa utilizada para traer a valor presente los flujos de pago del Bono.Teniendo claro este principio podemos afirmar que el Precio está en función (depende) del Rendimiento:

A continuación presentamos dicha función:

transformamos primeramente los denominadores a numeradores ajustando el exponente con signo negativo:

la primera derivada de esa función sería:

Esta primera expresión la llamaremos Expresión A pues la volveremos a usar más adelante. A continuación mostramos como vamos a simplificar dicha expresión para obtener una versión más resumida:

Cuando se presenta el resultado de la Duración en Dólares generalmente se omite el signo menos, pero siempre hay que tenerlo en cuenta al momento de reemplazar el valor en la Aproximación de Taylor. Calculemos ahora la primera derivada en un caso numérico concreto: compramos un Bono cuyo Valor Nominal es US$ 3.000, su tasa de interés es del 10% anual, el plazo es de 3 años, se paga el interés al final de cada año y el capital al vencimiento.Compramos el Bono con un Rendimiento Efectivo Anual del 14%, 180 días después de transcurrida la fecha de emisión.El Valor Actual del Bono, entonces, resultará de:

Calculemos ahora la derivada de esa función

Nótese que en la última expresión hemos separado cada numerador en dos factores: el flujo original correspondiente y el factor de tiempo i. Esto únicamente para que podamos comparar fácilmente la expresión con la fórmula de Duración, en donde el valor actual de cada flujo se multiplica por el plazo por vencer. Resolviendo los cálculos respectivos tenemos:
este resultado será la Duración en Dólares

Trabajo realizado por:Jean Paul Loffredo Cepedajean_loffredo@hotmail.com