Juegos Paradójicos 1a Parte

Charlando con Teto (apocorístico de Hector) mi hijo, (si el que toca en la banda SuperNova y aparece en la foto que abre esta entrada) quien es poseedor de una brillante mente inquiriente, y una apasionante sed de conocimiento científico, para mi beneplácito; me preguntó hace unos días, ¿Cuál es el motor más pequeño que existe? …… luego de meditar unos momentos, me proclamé incompetente en la materia, sin embargo, le auguré una respuesta en los próximos días, decidido a no defraudar a mi vástago, me dispuse a preguntarle a San Google, y para mi sorpresa existen muchos, y muy variados, sobre todo uno en particular llamó mi atención, que vi en el blog de Francis (la mula gracias por ese gran blog http://francisthemulenews.wordpress.com/) y que está formado por una cruz esvástica que se mueve al son de fotones que descarga sendo laser, debe tener un radio de 100nm (nano metros, por eso llamado también nano-motor), pero por increíble que parezca sigue los principios de los motores Brownianos, Brow…. Qué?, y bueno para explicar sobre el tema, escribiré (al mejor estilo del copy-paste)  un poco de lo recopilado sobre todo de: Paradoxical games and Brownian thermal engines, Juan M.R. Parrondo y Borja Jiménez de Cisneros, Universidad Complutense de Madrid, 16 de febrero de 2000. Este es el primero de 3 artículos

Juegos Paradójicos, 1ª Parte

Supongamos que tengo una moneda ligeramente sesgada (que ha sido manipulada para favorecer más un resultado que otros), de modo que la probabilidad de obtener "cara" al lanzarla al aire sea 1/2−ϵ, en donde ϵ es un número pequeño y positivo. Con ella, a la que denominaremos moneda 1, le ofrezco jugar del siguiente modo: cada vez que salga cruz le doy mil pesetas y cada vez que salga cara usted me da mil dólares a mí. Si usted dispone de un capital ilimitado, debería aceptar sin dudarlo un momento: si x(t) es lo que llevo ganado después de jugar t veces, no le será difícil demostrar que el valor medio de esta ganancia, 〈x(t)〉, es una función estrictamente decreciente de t (mientras que su ganancia es estrictamente creciente con t).

Ahora le propongo un segundo juego que utiliza dos monedas, que llamaremos 2 y 3.  La moneda 3 se lanza cuando lo que llevo ganado es múltiplo de tres y la moneda 2 en el resto de los casos (recuerde que la ganancia puede ser negativa; por múltiplo de tres entendemos cualquier número entero que se pueda escribir como 3n con n entero). La probabilidad de que yo gane con la moneda 2 es p₂  = 3/4 − ϵ y con la moneda 3, p₃ = 1/10 − ϵ, tal y como se muestra en la figura 1. El análisis de este segundo juego no es tan simple como en el caso anterior. Sin embargo, puede demostrarse (ver cuadro 1 y figura 1) que el juego es también favorable para usted, en el sentido de que el valor medio de mi ganancia 〈x(t)〉 es de nuevo una función estrictamente decreciente de t. Llamemos A al primero de los juegos que hemos descrito y B al segundo.

Una vez que está usted convencido de que yo pierdo en ambos juegos, le haré una tercera proposición: alternemos los dos juegos con la secuencia AABBAABB... Si usted frunce el ceño, puedo modificar ligeramente la propuesta para hacerla menos sospechosa: en cada turno, elijamos al azar cuál de los dos juegos jugamos.

Si acepta cualquiera de estas dos propuestas habrá confiado demasiado en su intuición, sin tener en cuenta que los sistemas aleatorios, aún tan simples como los que hemos descrito, pueden comportarse de manera sorprendente.

Figura 1:  Reglas de los juegos A y B. Los valores de las probabilidades son:  

p₁  = 1/2 − ϵ, p₂ = 3/4 − ϵ y p₃ = 1/10 − ϵ, con ϵ un número pequeño y positivo, que favorece en todos los casos la opción "perder". El color más claro de la moneda 2 indica que en esta moneda la probabilidad de ganar es mayor que 1/2 y que, por tanto, se trata de una moneda favorable.

Figura 2: Ganancia media (sobre 5 000 jugadores), en función del número de turnos, en cada uno de los juegos y en varias de sus combinaciones, incluyendo la combinación aleatoria. En todos ellos ϵ = 0.0005 y se ha utilizado la notación [a,b] para indicar que se juega a turnos al juego A seguidos de b turnos del juego B y así sucesivamente. La combinación aleatoria no difiere mucho de la combinación [2,2], es decir, la combinación AABBAA...(Figura tomada de [5]).

En efecto, tanto si alternamos los juegos formando una secuencia fija, AABBAABB..., como si lo hacemos de forma aleatoria, el resultado es que mi ganancia media 〈x(t)〉 es una función estrictamente creciente de t.  La figura 1 muestra mi ganancia en distintas situaciones: juegos A y B por separado, varias combinaciones periódicas y la combinación aleatoria.

2 Análisis detallado de los juegos

El fenómeno descrito en la sección anterior se conoce como Paradoja de Parrondo, está recibiendo cierta atención [5, 6] y se piensa que puede tener aplicaciones en distintos ámbitos, como economía o teoría de la evolución. Es cierto que el fenómeno puede aparecer en cualquier situación en la que se combinen dos o más dinámicas aleatorias. Sin embargo, hasta ahora no se ha descrito ninguna situación real en la que tenga lugar la paradoja. Veamos cómo pueden analizarse estos juegos paradójicos.  El juego B, así como la combinación aleatoria de A y B, puede reducirse a una cadena de Markov de tres estados [7]. Estos tres estados son: ganancia igual a un múltiplo de 3, a un múltiplo de 3 más 1, o a un múltiplo de3 más 2. La variable que determina estos tres estados es y(equivalente)x  mod 3 (1) que puede tomar sólo tres valores: 0, 1 o 2. El análisis de esta cadena de Markov se puede realizar diagonalizando una matriz 3 por 3 (ver cuadro 1).

Este análisis nos proporciona la siguiente explicación intuitiva de la paradoja. El juego B utiliza dos monedas: una "mala", la moneda 3, y otra "buena", la moneda 2. Cuando se juega sólo el juego B, la probabilidad de utilizar la moneda 3 es:

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que es mayor que 1/2 si ϵ es suficientemente pequeño. Lo que ocurre por tanto es que el juego A, a pesar de consistir en una única moneda "mala", redistribuye las frecuencias con las que se juegan las dos monedas del juego B haciendo que la moneda "buena" se utilice un mayor número de veces. Esta es la esencia de la paradoja: la endencia ganadora está ya en el juego B, pero cuando éste se juega aisladamente la tendencia perdedora es dominante; el papel del juego A es invertir esta dominancia. A pesar de que el juego A es perdedor, el efecto de potenciar la moneda "buena" del juego B es mayor que la propia tendencia perdedora de A y el resultado neto es que la combinación de A y B es ganadora.

Pero ¿que tiene que ver toda esta clase de probabilidades con los motores? se preguntará algún(a) lector(a), pues resulta que a nivel molecular lo que cuentan son las probabilidades y ahí esta la clase de motor que estamos hablando, los motores brownianos, eso lo continuaremos en la segunda entrega, como decía el gobernator en sus películas “hasta la vista babe”.

Salu2 a tod@s y en especial a mi buena amiga vivi allá en argentina que hace unos días estuvo de cumpleaños y también para cristina allá en chihuahua que también cumplió hace un par de días.

Mr. Moon.

La vida es un 10% como viene y un 90% como la tomamos.