A principios de los años 70’s, Black, Scholes y Merton derivaron una ecuación diferencial que debía ser satisfecha por el precio de una opción de compra europea (call europeo), de manera que no existiesen oportunidades de arbitraje en el mercado.
En los trabajos realizados antes del documento de 1973 de Black y Scholes en los que se estudió la valuación de opciones se proponían fórmulas generales para el precio de las opciones, pero que involucraban parámetros arbitrarios.
La desventaja de estos estudios es que no producían una solución analítica al precio de una opción que fuese operativa.
Black y Scholes (1973) y Merton (1974) explotaron la idea del no arbitraje en el mercado para hallar una solución analítica al precio de las opciones, en la que los parámetros son observables. Sólo existe un parámetro que no es observable: la Volatilidad del precio del subyacente. La volatilidad es la desviación estándar del precio futuro del subyacente con un horizonte de tiempo de un año. Para estimar este parámetro existen principalmente dos formas, la Estimación Histórica y la Estimación Implícita.
La estimación histórica (o Volatilidad Histórica) consiste en estimar la desviación estándar del precio del subyacente a lo largo del tiempo. Evidentemente, este método presenta varios problemas, pues el número de datos en la muestra puede variar. Algunas variantes de este método consisten en tomar la desviación estándar, no de la serie original, sino de los rendimientos logarítmicos del subyacente.
Métodos más avanzados consisten en modelar la volatilidad con procesos ARCH y GARCH, los cuales suponen que la volatilidad a un tiempo es una función del rendimiento y de la volatilidad del subyacente en periodos anteriores. En la actualidad, existe una gran cantidad de libros y documentos que tratan el tema, además de que constantemente se dan nuevos avances en el modelado de la volatilidad histórica.
En cuanto a la estimación implícita (o Volatilidad Implícita), ésta consiste en encontrar el parámetro que hace que la ecuación de BSM se cumpla, dado el precio de la opción. Esta estimación de la volatilidad no está exenta de problemas, ya que hereda los supuestos del modelo de BSM, siendo uno de los principales, que el modelo supone que la volatilidad del precio del subyacente es constante a lo largo del tiempo, a pesar de que en la práctica se ha observado que esto no es cierto; de hecho, la volatilidad implícita depende del precio de ejercicio de la opción. En la práctica se ha observado que la curva de la volatilidad implícita como función del precio de ejercicio no tiene una forma específica, aunque frecuentemente muestra al menos dos puntos de inflexión, por lo que se ha denominado a esta curva como la mueca de volatilidad o volatility smirk.
Por otro lado, encontrar la volatilidad implícita requiere de métodos numéricos ya que por lo general no existe una solución analítica a este problema. Existen diversos métodos numéricos y paquetes comerciales que podrían usarse para resolver este problema. El método más eficiente es el método de Newton, el cual se estudia en esa tesis, aunque requiere de un punto inicial adecuado para hallar la solución.
Como nos muestra Emilio flores en su tesis, la convergencia local del método de Newton se garantiza al cumplirse una desigualdad en todo un intervalo que contiene tanto al punto de inicio como a la solución. Debido a que esto no es operativo, el utiliza un resultado que relaciona al punto inicial con la convergencia del método, guiado por el teorema de Ostrowski. Dicho teorema le garantiza la existencia de la solución y la convergencia del método con sólo probar una desigualdad para el punto de inicio – más ciertas condiciones sobre las derivadas de la función –. Para resolver el problema de la volatilidad implícita, encontró un punto de inicio “ideal” desde el cual el teorema de Ostrowski le garantiza que el método de Newton converge, aún cuando los parámetros toman valores extremos, donde la sensibilidad de la función es muy alta.
Como bien lo expone en su tesis, los métodos numéricos están sujetos a dos tipos de errores que pueden producir que la solución no sea del todo correcta.
El primero de estos problemas es debido a los errores de redondeo que realizan las computadoras al realizar operaciones aritméticas; este problema es conocido como la Aritmética de Punto Flotante. El segundo problema es debido a las propiedades analíticas de la función que se desea resolver, en el caso de Emilio Flores, la ecuación de BSM. Intuitivamente, el problema es saber qué tanto cambia la volatilidad implícita si se perturba un poco el precio de la opción; a esto se le llama la Sensibilidad de la función. Cosa que analiza en su tesis, y cómo se relaciona este con la aritmética de punto flotante.
También revisa la sensibilidad de la volatilidad implícita al precio de la opción, y muestra que requerimos de métodos numéricos precisos para evitar que los errores sean costosos.
Para poder trabajar con mayor comodidad con la ecuación de BSM, Emilio realiza una reparametrización del modelo y estudia algunas propiedades analíticas de la función que le son de utilidad a lo largo de su tesis. Finalmente, repasa una aplicación de la volatilidad implícita: el cálculo de coberturas. Nos muestra en su trabajo la importancia de calcular la volatilidad con precisión, debido a que los errores numéricos pueden producir diferencias millonarias al calcular las coberturas; además los valores reales en los que se calcula la volatilidad están por lo general en zonas críticas de la función, es decir, donde la sensibilidad es muy alta, y por lo general, los algoritmos no convergen si no parten de un punto inicial adecuado.
Esto lo analiza con tres ejemplos. Estudia a detalle la cobertura delta de una opción reportada por una institución financiera a la Comisión Nacional Bancaria y de Valores (CNBV). En la segunda sección, estudia la volatilidad implícita y la cobertura para dos opciones: la primera sobre el IPC, cotizada en el Mercado Mexicano de Derivados (MexDer), y la segunda sobre el CAC 40, el homólogo del IPC en la bolsa de París. Compara los resultados obtenidos para estas dos opciones con los que se obtendrían al usar el solver de Excel para calcular la volatilidad implícita. Y observa que las estimaciones realizadas por el solver de Excel son significativamente diferentes a las calculadas por su propuesta, de manera que las coberturas serán por lo general menores, se dice que los resultados son distintos, en el sentido que a pesar de que el error relativo es pequeño, el error absoluto es grande considerando que las cifras con las que se trabajó son menores a la unidad.Los resultados obtenidos son que por lo general, Excel calcula volatilidades mayores a las de la metodología propuesta por Emilio Flores. En cuanto a la cobertura, debido a que no contamos con la información de las posiciones en cualquiera de las dos opciones por parte de algún inversionista, no podemos estimar el incremento o disminución del costo de la cobertura calculada por ambos métodos; sin embargo, observamos que existe un error de alrededor de tres decimales en el cálculo de las coberturas, lo cual nos indica que si existe una diferencia que puede conllevar a errores graves.
Salu2 a tod@s y felíz cumpleaños al ave sagrada del nilo Ibis que estos días estuvo de cumpleaños
Mr.Moon
La vida es un 10% como viene y un 90% como la tomamos.
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