miércoles, 25 de noviembre de 2015

100 años de la relatividad

Esta es la transcripción de la conferencia que dio Einstein en la Academia Prusiana de Ciencias que hemos comentado anteriormente.
Dado que estamos celebrando el centenario de la teoría creo que es una buena idea tener una traducción al castellano.  A eso vamos…

Las ecuaciones de campo de la Gravitación

Albert Einstein 
En dos artículos recientes he mostrado como se puede llegar a las ecuaciones de campo de la gravitación que están en acuerdo con el postulado de la relatividad general, es decir, que en su forma general son covariantes respecto a un cambio arbitrario de variables espaciotemporales.
Históricamente, estas ecuaciones de desarrollaron según la siguiente secuencia. Primero, encontré ecuaciones que contenían a la teoría Newtoniana como una aproximación y que eran también covariantes bajo cambios de coordenadas arbitrarios de determinante 1.  Posteriormente encontré que esas ecuaciones eran equivalentes a unas covariantes en general si el escalar del tensor de energía de la “materia” se anula. El sistema de coordenadas podría ser entonces seleccionado por la regla simple de que \sqrt{-g} tenía que ser forzosamente igual a 1, lo que da lugar a una inmensa simplificación de las ecuaciones de la teoría. Sin embargo, tiene que ser mencionado que esto requiere de la introducción de la hipótesis de que el escalar del tensor de energía de la materia se anula.
Recientemente he encontrado que uno puede deshacerse de esta hipótesis sobre el tensor de energía de la materia simplemente insertándolo en las ecuaciones de campo de un modo ligeramente diferente. Las ecuaciones de campo para el vacío, sobre las que basé la explicación del perihelio de Mercurio, permanecen inalteradas por esta modificación.  Para no forzar al lector a consultar constantemente las publicaciones previas, repetiré aquí las consideraciones en su completitud.
Podemos derivar del bien conocido covariante Riemann de rango cuatro el siguiente covariante de rango dos:
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Las diez ecuaciones con covariancia general del campo gravitatorio en el caso de que la “materia” está ausente se obtienen para la situación
Screenshot 2015-11-22 at 19.05.53
Estas ecuaciones pueden ser simplificadas eligiendo el sistema de referencia en el que \sqrt{-g}=1.  Entonces S_{im} se anula debido a (1b), por lo tanto uno obtiene en  lugar de (2)
Screenshot 2015-11-22 at 19.08.10
Aquí hemos empleado
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cuyas componentes las llamaremos las “componentes” del campo gravitacional.
Si existe “materia” en el espacio considerado, entonces su tensor de energía aparece en la parte derecha de (2) y (3) respectivamente.  Escribiendo
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donde hemos empleado
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$T$ es el escalar del tensor de energía de la “materia” y el lado derecho de (2a) es un tensor. Si elegimos de nuevo el sistema de coordenadas de la manera familiar obtendríamos en lugar de (2a) las siguientes ecuaciones equivalentes
Screenshot 2015-11-22 at 19.13.34
Asumimos, como es usual, que la divergencia del tensor de energía de la materia se anula al considerarlo en el sentido del cálculo diferencial generalizado (teorema energía-momento). Al especializar la elección de coordenadas de acuerdo con (3a), esto significa básicamente que el  T_{im} ha de satisfacer las condiciones
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o
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Cuando uno multiplica (6) por \dfrac{\partial g^{im}}{x_\sigma} y suma sobre i y m, uno obtiene a causa de  (7) Screenshot 2015-11-22 at 19.22.38
que se sigue de (3a), la ley de conservación para la materia y el campo gravitatorio combinados en la forma:Screenshot 2015-11-22 at 19.23.53
donde t^\lambda_\sigma (el “tensor energía” del campo gravitacional) viene dado por:
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Las razones que me motivaron para introducir el segundo término del lado derecho de (2a) y (6) solo se harán transparentes en lo que sigue, pero son completamente análogas a aquellas que acabamos de citar (p. 785).
Cuando multiplicamos (6) por g^{im} y sumamos sobre i y m, obtenemos tras un cálculo simple
Captura de pantalla de 2015-11-23 18:58:39
donde, al igual que en (5), hemos usado la abreviación
Captura de pantalla de 2015-11-23 19:00:43
Se ha de notar que nuestro término adicional es tal que el tensor de energía del campo gravitacional ocurre en (9) en pie de igualdad con el de la materia, que no era el caso para la ecuación (21) l.c.
Además, uno deriva en lugar de la ecuación (22) l.c. y del mismo modo que allí, con la ayuda de la ecuación de energía, las relacionesCaptura de pantalla de 2015-11-23 19:04:12
Nuestro término adicional asegura que esas ecuaciones no añaden condiciones adicionales cuando lo comparamos con (9); entonces no necesitamos hacer otras hipótesis acerca del tensor de energía de la materia más allá de que es consistente con el teorema de energía-momento.
Con esto, HEMOS COMPLETADO FINALMENTE LA TEORÍA GENERAL DE LA RELATIVIDAD COMO UNA ESTRUCTURA LÓGICA. El postulado de la relatividad en su forma más general (la cual hace a las coordenadas espaciotemporales meros parámetros sin significado físico) nos conduce necesariamente a una teoría de la gravitación muy específica que también explica el movimiento del perihelio de Mercurio.  Sin embargo, el postulado de la relatividad general no nos puede revelar nada nuevo ni diferente acerca de la esencia de los variados procesos en la naturaleza respecto a lo que la teoría especial de la relatividad ya nos ha enseñado.  Las opiniones que he emitido aquí en ese sentido eran erróneas.  Cada teoría física que es consistente con la teoría especial de la relatividad puede, por medios del calculo diferencial absoluto, ser integrada en el esquema de la teoría de la relatividad general – sin que esta nos proporcione ningún criterio acerca de la admisibilidad de tal teoría física.
Salu2 a tod@s 
Mr. Moon.
La vida es un 10% como viene y un 90% como la tomamos.

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