jueves, 31 de marzo de 2011

Legislando contra la Realidad


En 1897 faltó muy poco para que el Estado de Indiana, en EEUU, estableciese por ley un método para lograr la cuadratura del círculo. El episodio ha pasado a la historia como la “Indiana Pi Bill”, el Proyecto de Ley de Indiana sobre Pi, porque la propuesta, que recogía la llamada “nueva verdad matemática” de un pirado llamado Edwin J. Goodwin, establecía que “la razón entre el diámetro y la circunferencia es de cinco cuartos a cuatro”, dando por tanto un valor para Pi de exactamente 3,2.

Por increíble que pueda parecer, la propuesta fue aprobada por el Congreso del Estado por unanimidad, y hubiera sido aprobada también por el Senado si no fuera porque dio la feliz casualidad de que Clarence Abiathar Waldo, jefe del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Purdue, estaba en la capital del Estado negociando con los congresistas el presupuesto universitario. Al conocer la propuesta y saber de su inmimente aprobación Waldo explicó a los senadores lo disparatado de las ideas de Goodwin, de modo que tras una sesión en la que la unanimidad del Congreso se vio transformada en pitorreo generalizado, el Senado acordó posponer la votación del proyecto sine die.

Claro, dirán ustedes: todo eso son historias del pasado, meteduras de pata propias de aquellos señorones con chistera y monóculo, pero esas cosas no pueden pasar hoy en día, ¿verdad? Pues es cierto. Porque lo de hoy en día es peor.

Hace pocos días, la mayoría republicana en el Comité de Energía y Comercio del Congreso de EEUU rechazó tres propuestas para reconocer oficialmente los datos sobre el cambio climático obtenidos por la Agencia de Protección Ambiental, el papel de los gases de efecto invernadero en el proceso y sus consecuencias para la salud. No es la primera vez que ocurre algo por el estilo: hace un año, la Asamblea Legislativa de Dakota del Sur (también de mayoría republicana) aprobó una resolución en la cual se establecía que la enseñanza en las escuelas públicas en relación con el cambio climático debía tener en cuenta:

a) Que el calentamiento global es una teoría científica y no un hecho demostrado.

b) Que hay una serie de diversas variables climatológicas, meteorológicas, astrológicas (sic), termológicas, cosmológicas y ecológicas que pueden afectar a los fenómenos meteorológicos del Mundo, y que la significación y la interrelación de estos factores es fundamentalmente especulativa.

c) Que el debate sobre el calentamiento global ha incluido puntos de vista políticos y filosóficos que han complicado y llenado de prejuicios la investigación sobre los fenómenos del calentamiento global.

Como ven, aciertan de pleno en el apartado c): las posturas políticas han llenado de prejuicios el debate sobre el calentamiento global… como demuestran las dos barbaridades aprobadas en los apartados a) y b).

Evidentemente, el valor de Pi es el que es, digan lo que digan el Congreso de Indiana o, ya sea, la Biblia. Y el cambio climático, sus causas y sus consecuencias son también independientes de lo que aprueben o dejen de aprobar los cuerpos legislativos.

Sin embargo, las consecuencias de unas y otras iniciativas son bien distintas. Con su propuesta, el Congreso de Indiana se limitó a hacer un ridículo histórico que ni siquiera la intervención del profesor Waldo pudo evitar. En cambio, los intentos republicanos para fomentar la disidencia acerca de la realidad del cambio climático (como es el caso de la resolución de Dakota del Sur, que no es más que un refrito de los mismos “argumentos” con los que tantas veces se ha pretendido introducir el creacionismo en la educación pública) o, directamente, silenciar los datos científicos (como ha hecho el Comité de Energía y Comercio del Congreso) pueden ser un grave obstáculo a la hora de comprender y de intentar remediar este problema.


¿Sabías que si amarras a un elefante a un medidor de estacionamiento en Orlando, Florida, tienes que pagar como si fuera un vehículo motorizado? Y bueno, si vivieras en Kentucky, EE.UU., estarías obligado a ducharte al menos una vez al año? Y bueno, si vivieras en Denver, EE.UU., y tu vecino te pidiera prestada la aspiradora, podrías infringir la ley si lo haces? Imagina que vives en el Estado de Pennsylvania, y sin motivo recibes una multa porque cantaste en la ducha…
Parece una broma, y quizá ya podamos tomarlo como tal, sin embargo todas éstas son leyes vigentes, aún cuando parezcan absurdas. Cabe recordar que, de acuerdo al DRAE (http://www.rae.es) una ley es: f. Precepto dictado por la autoridad competente, en que se manda o prohíbe algo en consonancia con la justicia y para el bien de los gobernados. En muchas ocasiones las leyes se van creando de acuerdo a las necesidades de la sociedad, o a situaciones que resulten problemáticas. Sin embargo, imaginar qué pudo llevar a que se generaran éstas puede ser mucho más divertido.

  • En Shawnee, Oklahoma, es ilegal que tres o más perros “se reúnan” en una propiedad privada sin el consentimiento del dueño
  • Carmel, Nueva York, tiene una ordenanza que prohíbe a los hombres llevar chaquetas y pantalones que no vayan a juego
  • En Vermont (Estados Unidos) , las mujeres necesitan un permiso firmado de sus maridos para usar dentadura postiza.
  • En Francia, es ilegal poner de nombre a un cerdo Napoleón.
  • Es ilegal morir en el Parlamento británico.
  • En Bahrein, un doctor puede examinar los genitales de una mujer, pero tiene terminantemente prohibido mirar a ellos directamente durante el examen, y sólo puede ver su reflejo en un espejo.
  • En la ciudad de York (Inglaterra), es legal asesinar a un escocés dentro de las antiguas murallas, pero sólo si él lleva un arco y flechas.
En fin en todos lados hay relajo

salu2 a tod@s y felicidades a Adriel que este mes esta de cumple, también a Paola y Paqui

Mr. Moon.
La vida es un 10% como viene y un 90% como la tomamos



miércoles, 23 de marzo de 2011

Carnaval de Matemáticas 2.2 : Algunas consideraciones sobre la obra "Los Elementos" de Euclides, Parte II

Continuando la celebración de este Carnaval, posteamos la 2a entrega y última sobre la monumental obra y sus repercusiones "Los Elementos" de Euclides, la primera parte se puede leer aquí., el carnaval tiene nueva web http://carnavaldematematicas.bligoo.es/ y lo promueve el blog Gaussianos.


Los Elementos de Euclides, Parte II
Como se dijo en la primera parte, estos cambios radicales en la actitud de matemáticos y filósofos suponen una nueva forma de pensar, que es la aportación más importante de la matemática griega y el comienzo de una tradición expositiva matemática que llega hasta nuestros días, llamada forma hipotético deductiva de razonamiento, y que distingue a la Matemática griega de todo lo que la ha precedido. El teorema de Pitágoras, por citar sólo un ejemplo, era conocido más de mil años antes de Pitágoras, pero su establecimiento riguroso mediante una prueba de carácter general es un producto genuino de esta nueva forma de pensamiento.

Recogiendo sistematizadamente los resultados conocidos, expuestos con esta nueva forma de proceder, e incorporando algunos nuevos, Euclides (325 – 265 a.C.), bibliotecario de Alejandría, escribió la obra “Los Elementos” alrededor del año 300 antes de Cristo. 
Está compuesta de trece libros titulados:
Libro I: Congruencia de triángulos, paralelas, áreas de triángulos y rectángulos.
Libro II: Relaciones de igualdad en triángulos, cuadrados y rectángulos.
Libro III: Círculos.
Libro IV: Construcción de polígonos en círculos.
Libro V: Teoría de proporciones.
Libro VI: Semejanza de figuras rectilíneas planas.
Libro VII: Proporciones, máximo común divisor, mínimo común múltiplo, primos relativos.
Libro VIII: Progresiones, números cuadrados y cúbicos.
Libro IX: Factorización de primos, infinitud de los primos, números perfectos.
Libro X: Teoría de líneas irracionales.
Libro XI: Relaciones entre figuras sólidas.
Libro XII: Relaciones entre círculos y esferas, volúmenes de pirámides y conos.
Libro XIII: Construcción de sólidos regulares en esferas.

Lo que es magistral en Los Elementos es el método. Desarrollan toda la geometría y la aritmética elemental partiendo de cinco “postulados” y estableciendo teoremas y proposiciones sólo a partir de los postulados y de los resultados ya demostrados mediante las reglas del razonamiento deductivo. 

Los cinco postulados son:
1. Dos puntos arbitrarios se pueden unir por un segmento de recta.
2. Cualquier segmento de recta se puede extender indefinidamente a una recta en ambas direcciones.
3. Dados dos puntos cualesquiera, hay una circunferencia con centro en el primero que pasa por el segundo.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Si al cortar dos rectas por una tercera, ésta forma dos ángulos interiores al mismo lado que suman menos de dos rectos, entonces las dos rectas primeras se cortan en algún punto a ese lado.

El quinto postulado se le llama el postulado de las paralelas debido a que un enunciado equivalente al dado es que por un punto exterior a una recta pasa una sola recta paralela a la dada.

La fascinación intelectual que produjo la presentación de las matemáticas tal como aparece en “Los Elementos” los ha elevado al rango de modelo del discurso de la razón desde entonces.

Descartes (imagen de la izquierda), en la primera parte de su “Discurso del Método” escribió que “gustaba, sobre todo, de las matemáticas por la certeza y evidencia de sus razones”, y en la segunda parte dice: “Esas largas cadenas de trabadas razones muy simples y fáciles, que los geómetras acostumbran a emplear para llegar a sus más difíciles demostraciones, me habían dado ocasión para imaginar que todas las cosas que entran en la esfera del conocimiento humano se encadenan de la misma manera”.

Al matemático jesuita Saccheri se debe la obra Logica Demonstrativa (1697) escrita en forma de definiciones, postulados y demostraciones, al estilo de Euclides en sus propias palabras. Spinoza también se inspiró en Los Elementos para desarrollar su Ética, que la titula “Ética demostrada en con el método geométrico”, y lo mismo hizo Hobbes en el desarrollo de su “Teoría política”. El trabajo genial de Euclides tiene muchos aspectos dignos de mención especial. Sólo comentaremos tres.

1. La distinción implícita entre los infinitos actual y potencial. En ninguno de sus trece libros aparece explícitamente que la recta sea un conjunto de infinitos puntos y evita siempre considerar conjuntos con infinitos elementos. En lugar de escribir que el conjunto de números primos es infinito, expone que dado un número primo cualquiera existe otro número primo mayor que él. En nuestro tiempo decimos que un conjunto definido por una propiedad A es infinito potencial, si dado un número natural n podemos encontrar en A más de n elementos diferentes con esa propiedad. El concepto de infinito actual supone la existencia de conjuntos infinitos, como entes que están ahí, y cuya admisión ha llevado a importantes problemas matemáticos que, tal vez, Euclides los intuyó y decidió evitarlos no utilizando el infinito actual.

2. La elegante utilización de la reducción al absurdo en las demostraciones. En Los Elementos se establece con este método y el teorema de Pitágoras la inconmensurabilidad entre la diagonal y el lado de un cuadrado, razonando así: La conmensurabilidad implica que √2 = p/q , donde la fracción es irreducible, y al elevar al cuadrado se obtiene que p es par. Sustituyendo p = 2r y simplificando se deduce que √2=q/r, luego, repitiendo el argumento anterior se llega a que q también es par. De la inexistencia de una fracción irreducible con numerador y denominador pares se deduce que es absurdo que la diagonal y el lado de un cuadrado sean conmensurables.

3. Su reticencia a utilizar su quinto postulado, tal vez debido a que pensase que era consecuencia de los cuatro primeros. No lo utiliza hasta la Proposición 1.29. Precisamente uno de los problemas más fascinantes de la Historia de la Ciencia, llamado por los griegos “el cuarto problema de la geometría”, ha sido el intento de probar que el quinto postulado era consecuencia de los cuatro anteriores. Ya Ptolomeo (imagen de la izquierda), en el año 150, intentó sin éxito demostrar que el quinto postulado era consecuencia de los otros cuatro.

También Alhazen (965 – 1039) en la Escuela de El Cairo intentó demostrar el quinto postulado considerando un cuadrilátero trirrectángulo, llamado hoy cuadrilátero de Lambert en honor al matemático del siglo XVIII que lo estudió sistemáticamente. Alhazen creyó haber demostrado el quinto postulado de Euclides, pero utilizó en su demostración que el lugar geométrico de un punto que se mueve permaneciendo a distancia constante de una recta es otra recta paralela a la dada, lo que se ha demostrado modernamente que es equivalente al postulado de Euclides.

El científico y poeta persa Omar Khayyam (1050 –1123) criticó la demostración de Alhazen con la indicación de que Aristóteles había excluido el uso del movimiento en geometría e intentó otra prueba del quinto postulado partiendo de un cuadrilátero con dos lados iguales y perpendiculares a su base, llamado hoy día “cuadrilátero de Saccheri” en honor del matemático del siglo XVIII que investigó las posibilidades que pueden darse con los dos ángulos superiores, necesariamente iguales: 1) ser los dos agudos, 2) los dos ángulos obtusos o 3) los dos rectos.

Los dos primeras posibilidades las excluye Omar Khayyam basándose en que dos rectas convergentes deben cortarse, principio que atribuye a Aristóteles. Pero resulta de nuevo que este principio es equivalente al postulado del paralelismo de Euclides, por tanto Omar Khayyam también fracasó en su intento de demostrar el quinto postulado. A Omar Khayyam se le debe también el reemplazar la teoría de proporciones de Euclides por un planteamiento numérico con lo que se acercó a la definición moderna de número racional y comenzó a cerrar el abismo entre el álgebra numérica hindú y geométrica griega que culminaría Descartes.

Proféticamente escribió que “cualquiera que piense que el Álgebra es un sistema de trucos para obtener los valores de las incógnitas piensa vanamente. No se debe prestar ninguna atención al hecho de que el álgebra y la geometría son en apariencia diferentes. Los hechos del álgebra son hechos geométricos que están demostrados”.

Ya en plena decadencia árabe, Nasir Eddin Al Tusi (1201 – 1274 imagen de la izquierda), nieto de Gengis Khan, continuó los esfuerzos por demostrar el quinto postulado de las paralelas del libro de Euclides partiendo de las tres hipótesis posibles del cuadrilátero de Saccheri. Se considera a Al Tusi como uno de los precursores de la geometría no euclídea, pues la traducción de su obra por Wallis en el siglo XVII fue el punto de partida de los desarrollos llevados a cabo por Saccheri en el primer tercio del siglo XVIII.

Saccheri fue el primero en analizar en 1733 la dependencia del quinto postulado de los cuatro primeros mediante reducción al absurdo: Supone que el quinto postulado es falso e intenta llegar a una contradicción. Después de un estudio muy cuidadoso, concluyó de forma precipitada la deseada contradicción. Lambert recorrió posteriormente, en 1766, un camino similar pero, más prudente, se limitó a exponer sus muy perspicaces conclusiones alternativas.

Alrededor de 1830 y casi con simultaneidad, Gauss (imagen de la izquierda) en Alemania, Bolyai en Hungría y Lobachevsky en Rusia se percatan de que si en lugar de suponer el quinto postulado se supone que por un punto exterior a una recta pasa más de una recta paralela se obtiene una teoría diferente de la euclídea, posteriormente denominada “geometría de Lobachevsky o geometría hiperbólica”. Beltrami, Poincaré y Klein establecieron modelos para esta nueva geometría, distinta de la euclídea, lo que probaba la independencia del quinto postulado de los cuatro anteriores, dado que los cuatro primeros postulados pueden convivir con un quinto postulado contradictorio con el de Euclides y generar otra geometría.

(pincaré en la imagen de la izquierda) Con este resultado aún no terminó el quinto postulado de generar frutos, pues su sustitución por la hipótesis de que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela permitió obtener la llamada geometría elíptica o “riemanniana”, de aplicación en la teoría de la relatividad de Einstein.

Finalmente, al establecerse que no hay una geometría que sea más valida que las otras se probó la falsedad de la idea de Kant de que los conceptos de espacio de la geometría euclídea y de tiempo están en nuestro pensamiento como un marco de referencia. El ideal griego de contemplar lo bello y armonioso de la naturaleza está presente en “Los Elementos”. El eje en torno al que giran sus argumentos es la geometría y uno de sus objetivos es reducir los problemas matemáticos a construcciones geométricas con regla y compás, que son los instrumentos generadores de las líneas perfectas, la recta y la circunferencia.

Los primeros problemas que aparecen en los “Elementos” son de intersecciones de rectas y circunferencias y plantean resolver con regla y compás la duplicación del cubo, la trisección del ángulo, y la cuadratura del círculo, en lo que se venía trabajado intensamente desde el siglo V a. J.C. y continuaron pensando muchos de los mejores matemáticos durante los veintidós siglos siguientes, hasta que Pierre Wantzel probó la irresolubilidad de los dos primeros y, casi simultáneamente, Ferdinand von Lindemann obtuvo la demostración de la imposibilidad de la cuadratura del círculo con regla y compás. La importancia histórica de estos tres problemas está en las muchas cuestiones que se desarrollaron y resolvieron buscando su solución, lo que llevó a Klein a decir que “se buscó hierro y se encontró oro”.

Los griegos nos dejaron soluciones aproximadas de estos tres problemas. Por ejemplo, Hippias de Elis (460 – 400 a.C.) construyó aproximadamente una curva, la cuadratiz, que permitía dividir un ángulo en dos partes proporcionales a dos números dados. Utilizaba métodos geométricos y cinemáticos y se adelantaba al cálculo aproximado y a la noción de límite.

De estas consideraciones es fácil deducir “Los Elementos” es una obra casi perfecta y adelantada muchos siglos a su tiempo, lo que llevó a que Don Julio Rey Pastor, el más emblemático de los matemáticos españoles fallecidos durante el siglo XX, afirmase: “Si pretendieras agregar o quitar algo de Los Elementos de Euclides reconocerías de inmediato que te alejas de la ciencia y te acercas hacia el error y la ignorancia”.

Algunas influencias de Los Elementos
Los Elementos han influido decisiva y significativamente, bien directa o indirectamente, en casi todos los científicos posteriores al siglo III a. J.C. Por limitaciones de espacio y tiempo daremos un bosquejo de la influencia de Los Elementos en Arquímedes, en los matemáticos árabes y en Newton.

Los Elementos y Arquímedes
En la vida científica de Arquímedes de Siracusa (287 – 212 a.C.) tuvieron influencia estos tres hechos: El ser hijo del astrónomo Phidias, célebre astrónomo que junto Eudoxo y Aristarchus había propuesto un sistema heliocéntrico. La visita en su juventud a Egipto, donde estudió con lo sucesores de Euclides y entabló amistad con muchos de ellos, particularmente con Conon de Samos, a quien Arquímedes admiraba por sus habilidades matemáticas. En el prólogo de su libro Sobre las espirales nos cuenta que tenía la costumbre de enviar a sus amigos de Alejandría las proposiciones geométricas que descubría y le respondían en muchas ocasiones que eran resultados que ya conocían, por lo que para averiguar quienes estaban faltos de espíritu científico decidió en lo sucesivo enviar algunas proposiciones falsas intercaladas entre las correctas para descubrir quien era capaz de atribuirse hasta lo erróneo.

El tercer hecho es su parentesco y amistad con el rey Heron II de Siracusa, quien le convenció que dedicase parte del tiempo que empleaba en sus razonamientos sobre matemática pura a idear artefactos de guerra para defenderse de los romanos, gracias a los cuales el comandante romano Marcellus fue derrotado cuando sitió Siracusa en la primera guerra púnica. Arquímedes adquirió gran fama en vida por sus aplicaciones, bélicas y no bélicas, consecuencia de sus descubrimientos físicos de las leyes de la palanca, la polea y del empuje de un cuerpo sumergido en un fluido, que, además de derrotar a Marcellus le permitieron mover un barco sobre la arena y comprobar la estafa en la corona que Herón II había mandado hacer para ofrecerla a Júpiter. Sobrevive su frase de que si existiese un punto de apoyo cercano a la Tierra conseguiría moverla.

La fama que las invenciones mecánicas dieron a Arquímedes no influyeron en su creencia de que lo más valioso era el desarrollo de la matemática pura. No hacía comentarios sobre las invenciones aplicadas que le habían dado la fama. Parecía repudiar lo que sólo tenía una utilidad práctica, y ponía su interés en las especulaciones teóricas sin referencia a las necesidades ordinarias de la vida. Su interés y admiración se concentraba en estudiar los objetos que tenían belleza y grandeza, así como en las demostraciones precisas y contundentes.

Plutarco matiza más esta idea diciendo que Arquímedes utilizaba sus descubrimientos mecánicos para obtener resultados de geometría pura, afirmación confirmada en el verano de 1906 cuando J.L. Heiberg, profesor de filosofía en la Universidad de Copenague, accidentalmente descubrió en Estambul la obra de Arquímedes “El Método” un original uso de la estática como guía de sus descubrimientos5, pues “ciertos hechos – escribe Arquímedes en El Método – me parecen claros por un método mecánico, que no suministra una prueba real. Por tanto, deben ser probados después por el método geométrico. El conocimiento inicial por el método mecánico facilita la posterior demostración geométrica”. Arquímedes asocia los razonamientos mecánicos con intuición y exploración y la demostración, como buen seguidor de Euclides, la vincula al razonamiento geométrico.

Los Elementos de Euclides en la matemática árabe.
Un complot provocó la huida de Mahoma de la Meca a Medina en el año 622 y el comienzo de la Era Mahometana. El éxito de Mahoma en Medina le convirtió en un líder militar y religioso que formó un estado con capitalidad en La Meca. Su muerte repentina en Medina el año 632, mientras planeaba atacar el Imperio Bizantino, no fue obstáculo para la extensión del estado islámico. Mahoma había logrado unir a las tribus árabes e inspirarles un gran fervor que les permitiría conquistar el mundo. Damasco fue tomada en el 635, Jerusalén en el 637, la conquista de Egipto se terminó en el 641 con la toma de Alejandría, centro matemático del mundo en los últimos mil años, y con la destrucción de muchos tesoros documentales de la que había sido la mayor biblioteca del mundo, (extrañamos mucho los posibles documentos tan geniales como el mecanismo de anticitera, véase la www.pizarradeyuri.com).

La conquista de Persia, al año siguiente, puso a los árabes en contacto con la refinada cultura iraní. Cuando en el 712 conquistaron España, los seguidores del profeta gobernaban una ancha zona del mundo que se extendía desde el Asia central hasta el lejano Occidente. Durante más de un siglo los conquistadores árabes lucharon entre sí y con sus enemigos hasta que, al fin, hacia el 750 el espíritu guerrero cedió, surgió un cisma entre los árabes de Occidente que ocupaban España y Marruecos y los árabes de Oriente que durante el califato de Al-Mansur establecieron su capital en Bagdad. Esta ciudad pronto iba a convertirse en el centro mundial del desarrollo de la matemática debido a la combinación de varias fuerzas: La cultura persa, el deseo de los árabes de asimilar las civilizaciones que habían invadido y la pasión por el conocimiento que demostraron los califas al-Mansûr, Hârûn al-Rashîd y al-Ma`mûn, bajo cuyos mandatos la nueva civilización se desarrolló con increíble velocidad y Bagdad se convirtió en una nueva Alejandría. Sabios de Siria, Irán y Mesopotamia, incluidos judíos y cristianos fueron llamados a Bagdad. Se llama “milagro árabe” a la celeridad con que asimilaron la cultura de sus vecinos en cuanto empezaron a saborearla. Su mérito se pondera mejor si se considera el escaso bagaje intelectual con que comenzaron sus conquistas.

Sus tutores persas les incitaban a beber hasta saciarse en las antiguas fuentes del saber sánscrito y griego. De los hindúes aprendieron aritmética, álgebra, trigonometría, y química; de los griegos, lógica, geometría, astronomía y medicina. El grado de uniformidad cultural árabe no resultó alto, pues siempre hubo en el mundo árabe una división muy sensible en facciones que desembocó en conflictos. Vínculo común en el mundo islámico fue el idioma, conservado por la obligación de leer el Corán en árabe. La gran extensión del dominio musulmán les hizo asimilar culturas muy variadas, fundidas por el ecléctico carácter árabe, a las que incorporaron elementos propios.

La matemática árabe consta de:
- Una aritmética basada en el principio posicional que provenía de la India.
- Un álgebra con orígenes en Grecia, India y Babilonia que adoptó una forma nueva y sistemática en manos de los árabes.
- Una trigonometría proveniente de Grecia e India. Los árabes se inclinaron por los métodos indios de la semicuerda, o función seno, ampliándolos con nuevas funciones y relaciones.
- Y una geometría que venía de “Los Elementos” de Euclides, que los árabes enriquecieron con generalizaciones y estudios críticos relativos al axioma del paralelismo de Euclides, que ya hemos considerado.

Los Elementos llegaron al pensamiento árabe durante el califato Al-Raschid, conocido por los cuentos de Las mil y una noches, con la traducción al árabe parte de la obra de Euclides. En el califato de Al Mamun se tradujeron al árabe muchas de las joyas de la antigüedad, como el Almagesto de Ptolomeo, y una versión completa de Los Elementos de Euclides.

Al-Mamun fundó en Bagdad la Casa de la Sabiduría, comparable al antiguo Museo de Alejandría. Era una especie de Universidad en la que estuvo Abu Jaffar Mohammed ibn-Musa Al-Khowarizmi (de cuyo apellido deriva la palabra algoritmo, imagen de la izquierda), matemático y astrónomo y que iba a hacerse, junto con Euclides, muy popular en la baja Edad Media. Durante la primera mitad del siglo XX escribió una docena de libros, basados en la obra hindú Sindhind, que versaron sobre el astrolabio, el reloj de sol, aritmética y álgebra.

En el primero de los dos libros sobre aritmética y álgebra, del que sólo se conserva la traducción latina “De numero indorum” (Sobre el arte de calcular hindú), dio una exposición completa del sistema de numeración hindú, responsable de la extendida y falsa creencia de que nuestro sistema de numeración es de origen árabe. De otra obra de Al-Khowarizmi, “Al-jabr wa’l muqäbalah”, aprendería más tarde Europa la parte de la matemática que lleva ese nombre. Contiene una exposición directa y elemental de la resolución de ecuaciones, especialmente las de segundo grado.

Esta obra representa para el Álgebra lo mismo que Los Elementos para la Geometría, por haber sido, hasta tiempos modernos, la mejor exposición elemental de álgebra conocida, debido, en opinión bastante generalizada, a que el marco geométrico y lógico con que justifica sus soluciones tiene el sello griego de “Los Elementos” de Euclides. Al-Khowarizmi murió poco antes del 850. En la segunda mitad del siglo IX Thabit Ibn-Qurra (826 – 901) fundó una importante escuela de traductores desde el griego y el sirio.

Le debemos la traducción al árabe de las obras de Euclides, Arquímedes, Apolonio, Ptolomeo y Eutocio, impidiendo así que fuese menor el número de obras árabes que han llegado hasta nosotros. Su traducción de “Los Elementos” de Euclides tuvo una gran influencia en la matemática árabe. En el siglo X vemos que Al-Karki sigue con la costumbre griega de utilizar la geometría de Euclides en la resolución de ecuaciones, si bien ya intenta su resolución por radicales, preparando así los primeros desarrollos matemáticos del Renacimiento.

Al-Biruni (973 – 1048) aporta la traducción algebraica de problemas geométricos, siendo uno de los más notables la reducción del problema de inscribir el eneágono en una circunferencia a la resolución de la ecuación x^3 = 1 + 3x. Otra traducción de Los Elementos de Euclides se debe a Avicena (980 – 1037), que fue el sabio enciclopédico persa más importante del Islam.

Los Elementos en Newton
Avanzando unos siglos llegó la reforma gregoriana del calendario, que no fue adoptada en Inglaterra hasta 1752. Por ello, con el calendario local inglés, Isaac Newton nació el día de Navidad de 1642 en Woolsthorpe, Lincolnshire (Inglaterra), que corresponde al 4 de enero de 1643 en el calendario gregoriano. Su padre, un rico granjero sin cultura, había muerto tres meses antes de su nacimiento en el enfrentamiento entre el Rey Jacobo I y los puritanos. Los primeros contactos escolares de Newton fueron malos, pues era holgazán y no atento. En que Newton estudiase tuvieron una influencia decisiva su tío, el reverendo William Ayscough, que le animó a seguir estudiando en la Free Grammar School en Granthman, y el director de este centro, apellidado Stokes y enamorado de Los Elementos de Euclides, quien transmitió a Newton la pasión por aprender según el esquema de Los Elementos y convenció a su madre que le enviase a la Universidad.

El 5 de junio de 1661 ingresó en el Trinity College de Cambridge. La enseñanza en Cambrige estaba dominada por la filosofía de Aristóteles, si bien se permitía cierta libertad de estudio en el tercer año, lo que permitió a Newton estudiar la filosofía de Descartes, Gassendi, Hobbes y Boyle.

También le atraía la mecánica de la astronomía de Galileo y la Óptica de Kepler. Encabezó unos apuntes de 1664 titulados Questiones Quaedam Philosophicae (Ciertas Cuestiones Filosóficas) con la sentencia: “Platón es mi amigo, Aristóteles es mi amigo, pero mi mejor amigo es la verdad”, mostrándose como un pensador libre a tan corta edad.

El interés de Newton por la matemática aumentó en otoño de 1663 cuando, en una feria en Cambrige, adquirió un libro de astrología y otro de trigonometría cuyos aspectos matemáticos no pudo entender. Entonces llegó Barrow a la cátedra Lucasiana del Trinity College de Cambridge y le orientó hacia el estudio de Clavis Mathematica de Oughtred, La Geometría de Descartes, las obras completas de Vieta, el Álgebra de Wallis y su método de obtener el área de segmentos de parábolas e hipérbolas con los indivisibles de Cavalieri. Barrow también facilitó a Newton su traducción de Los Elementos de Euclides, libro que Newton siempre admiró.

Después de terminar sus estudios en Abril de 1665, la peste obligó a cerrar la Universidad. Newton se retiró durante casi dos años a Lincolnshire, durante los cuales hizo revolucionarios avances en óptica, física, astronomía y matemáticas. Elaboró el método de las fluxiones, basado en su descubrimiento de que la integración de una función es el procedimiento inverso de la diferenciación. Utilizando la diferenciación como operación básica estableció los fundamentos del cálculo diferencial e integral con los que unificó técnicas dadas con anterioridad para resolver problemas aparentemente no correlacionados, como calcular áreas, tangentes, longitudes de curvas y máximos y mínimos de funciones.

La obra de Newton De Methodis et Fluxionum fue escrita en 1671, si bien no fue publicada hasta que en 1736 John Colson hizo la traducción al inglés. Tras la peste se reabrió la Universidad de Cambridge (1667) y Newton recibió una beca en 1669, año en el que Barrow intentó que los descubrimientos de Newton fuesen universalmente conocidos. Barrow dimitió de la cátedra Lucasiana en 1669 para dedicarse al cultivo de la espiritualidad, y consiguió que le sustituyese Newton, que sólo tenía 27 años.

Las mayores aportaciones de Newton fueron sus grandes descubrimientos en Física y en Mecánica Celeste que culminaron con la teoría de la gravitación universal. En 1666 Newton tenía una primera versión de sus tres leyes de dinámica y había obtenido la ley de la fuerza centrífuga de un cuerpo moviéndose uniformemente en una circunferencia, lo que le permitió imaginar que la fuerza de gravedad de la Tierra equilibraba la fuerza centrífuga de la Luna. Esta idea y la tercera ley de Kepler del movimiento planetario le permitieron deducir la ley de atracción de dos masas (F=GMm/r^2).

Una discusión científica entre Edmond Halley, Robert Hooke y Sir Christopher Wren sobre el movimiento de un cometa motivó una pregunta de Halley a Newton, quien dio respuesta inmediata de que la trayectoria del cometa sería una elipse. De nuevo Halley interpeló a Newton cómo deducía que el cometa seguiría órbita elíptica y Newton respondió que “por que lo había calculado”. Halley, impresionado por la respuesta y por la incapacidad de Newton de encontrar sus cálculos, le convenció para que escribiese un tratado sobre su nueva concepción de la Física y su aplicación a la Astronomía.

En 1687, Newton publicaba su Philosophiae naturalis principia mathematica o Principia, como se la conoce generalmente, redactado en algo menos de un año de dedicación absoluta. El Principia se reconoce como el mejor libro científico jamás escrito, que no hubiese podido nacer sin su anterior descubrimiento del cálculo infinitesimal y la confianza de Newton en la matemática como instrumento de investigación de la naturaleza y de expresión de sus leyes.

Newton no usó el Cálculo Infinitesimal en sus “Principia”. Cosa lógica porque quería que lo entendiesen y no iba a escribir una teoría nueva en una matemática también nueva y desconocida.  Por eso el libro es difícil de leer para nosotros que estamos acostumbrados al cálculo integral y diferencial, en lugar de las demostraciones de Newton al modo geométrico de Euclides.

La influencia de “Los Elementos” de Euclides en “Principia” no es sólo en la forma, pues la estructuración del “Principia” es al modo matemático de “Los Elementos” con axiomas o postulados de los que se deducen las leyes o teoremas que describen el mundo físico. Gracias a la estructura euclídea y a su ley de atracción universal explicó un gran conjunto de fenómenos previamente no relacionados, como los movimientos de planetas y satélites, las órbitas excéntricas de los cometas, las mareas y sus variaciones, la precesión del eje de la Tierra, el movimiento de cuerpos en caída libre, en medios resistentes y no resistentes, de proyectiles y de péndulos.

Conclusiones
Parece innegable que Los Elementos han sido un factor significativo en muchos descubrimientos y sueños científicos. No sería aventurado suponer que el espíritu de Los Elementos estuvo junto a la idea medieval de encontrar una Característica Universal que permitiese la deducción absoluta y el captar cualquier esencia. 

Este deseo lo resucitó Leibniz (imagen de la izquierda) en 1666 con su trabajo Disertación sobre el arte de la Combinatoria, intentando reducir todos los razonamentos y descubrimientos a una combinación de elementos básicos , como números, letras, sonidos y colores. Leibniz quería proporcionar un lenguaje simbólico al que se pudiesen trasladar todos los procesos del razonamiento para garantizar la corrección en la argumentación.

Se dice que los matemáticos, se declaren o no platónicos, casi siempre trabajan como si lo fuesen. El austriaco Kurt Gödel (1906 -1978), a quien debemos el teorema de incompletitud de la aritmética, decía que su platonismo le ayudó mucho en sus descubrimientos.

Me atrevería a decir que los científicos, hayan leído o no Los Elementos de Euclides, trabajan como si fuesen sus discípulos, pues los mensajes de Los Elementos conforman una parte de lo que llamamos mentalidad científica, cuyo rostro será más humano si no olvida que nació de la fusión de aportaciones orientales y occidentales. He intentado justificar que Euclides fue mucho más que un gran recopilador, pues le debemos la formalización en “Los Elementos” de un método científico que seguimos utilizando, y al que se debe, en palabras y sentimiento del poeta Paul Verlaine, que las Matemáticas sea la más bella de las Ciencias.

Fuente : vida los 13 libros de Euclides

Salu2 a tos@s y Felíz cumpleaños al doctor Johan pues hoy esta de cumpleaños

Mr. Moon.
La vida es un 10% como viene y un 90% como la tomamos.

martes, 22 de marzo de 2011

Oferta de trabajo Técnico de Ingeniería FISDL


CIRCULAR # 013 

 

“Te invitamos a formar parte del equipo humano de la

Institución líder en la reducción de la pobreza en El Salvador”


CONCURSO

TÉCNICO DE INGENIERÍA


Se hace del conocimiento de todo el personal que a partir de este día se somete a concurso, la plaza de Técnico de Ingeniería.

DESCRIPCION GENERAL DEL PUESTO:
Asistir al Jefe del Departamento de Ingeniería en el control y seguimiento de las condiciones establecidas en la Guía de Formulación de Proyectos de infraestructura del FISDL y de los convenios firmados por el FISDL. Monitorear y analizar el avance en la formulación de proyectos de infraestructura, apoyando actividades administrativas intermedias o transversales, recomendando las correcciones que permitan obtener del Perfilista o Formulador  un perfil o una carpeta técnica con calidad en los aspectos técnicos, ambientales o sociales.

PERFIL DEL PUESTO:
ESTUDIOS:   Profesional universitario, graduado en las ramas de la Ingeniería (Civil, Eléctrica) o Arquitectura. De preferencia con estudios o experiencia en campos de la Ingeniería Civil (Hidráulica, Vial, Estructural, otros).

EXPERIENCIA: tres  años de experiencia en trabajos relacionados con el diseño y administración de proyectos de Infraestructura Social Básica, como puentes y sistemas de agua potable y saneamiento, caminos rurales, entre otros (Formulación, Supervisión y Ejecución).

CONOCIMIENTOS:
·         Administración de contratos.
·         Diseño de proyectos de infraestructura, con cierto grado de complejidad (estructuras, puentes, agua).
·         Regulaciones y leyes de construcción y/o electrificación, Código Municipal.
·         Dominio de paquetes utilitarios de computación (MS- Office, Project), aplicativos para el diseño constructivo (CAD).

OTRAS CONDICIONES:
·         Poseer licencia de conducir vigente
·         Deseable con experiencia en el manejo de vehículos de doble transmisión
·         Disponibilidad para trasladarse al interior del país

Si cumples con el perfil requerido, envía tu Currículum Vitae actualizado, con fotografía reciente y pretensiones salariales, a nuestra página WEBwww.fisdl.gob.sv  o al siguiente correo recursos_humanos@fisdl.gob.sv  Fecha máxima para recepción de CV  viernes 25 de marzo 2011 a las 12:00 m.

salu2 a tod@s
Mr. Moon.
La vida es un 10% como viene y un 90% como la tomamos.

lunes, 21 de marzo de 2011

Carnaval de Matemáticas 2.2 : Algunas consideraciones sobre la obra "Los Elementos" de Euclides, Parte I


“Los Elementos”, escrita en trece tomos por Euclides, (imagen de la izquierda) bibliotecario de Alejandría, casi 300 años antes de Cristo. Se suele admitir que es una de las obras que más ha influido en el pensamiento científico. Un dato objetivo que avala esta afirmación es que comparte con La Biblia los primeros puestos en número de ediciones.

El incunable de “Los Elementos” de la biblioteca del monasterio de San Millán de la Cogolla es un ejemplar de la edición Princeps de 25 de mayo de 1482, impresa en Venecia por Erhardus Ratdolt y que contiene la versión latina de Campano de Novara, capellán del Papa Urbano IV. Según Boyer, “Campano utilizó diversas fuentes árabes, así como la primitiva versión latina de Adelhardo Bathoniensi”. Ratdolt dice en el prefacio que es la primera vez que se han impreso figuras geométricas. Esta edición contiene dos libros más escritos por Hipsicles y por Isidoro de Mileto.

En España se encuentran otros ejemplares de esta edición en la Biblioteca Nacional, en la Casa Ducal de Alba, en la Biblioteca del Palacio Real, en la Biblioteca Capitular de Sevilla y en la Biblioteca de la Universidad de Valladolid.

Antecedentes de Los Elementos de Euclides.
Parece que nunca tendremos información adecuada del período antiguo en que el hombre satisfacía sus más urgentes necesidades y, lentamente, emergía de la oscuridad y comenzaba a aparecer su instintiva ansia de poder y conocimiento. Nunca sabremos quien fue el primero que pensó en encender fuego, en fabricar instrumentos de piedra, en domesticar animales o en utilizar la rueda. Tampoco lo sabemos todo sobre el desarrollo del lenguaje y de la escritura. Sin el lenguaje articulado hubiese sido muy difícil el desarrollo del conocimiento, cuya transmisión hubiese sido precaria sin la escritura.

Es muy probable que estos descubrimientos implicasen la colaboración secular de miles de hombres y que los grandes progresos fuesen asegurados por el genio excepcional de algunos de ellos, remachando los resultados obtenidos mediante la acumulación inconsciente de muchas pequeñas aportaciones, asegurando lo conquistado y preparando nuevos movimientos lentos de progreso. Las transiciones entre niveles de conocimiento fueron casi tan lentas como las evoluciones biológicas. Probablemente quedaron totalmente inadvertidas para la mayoría de esos hombres.

De sus vidas y obras nos habla la arqueología, uno de cuyos hallazgos más espectaculares relacionado con las matemáticas es el hueso encontrado en las orillas del lago Edward, en la República del Congo, datado entre el 9000 y el 6500 a. J.C. Posee unas marcas en su asta, que, según las interpretaciones más fiables, corresponden a un sistema de numeración decimal, a los números primos entre 10 y 20, a una tabla de duplicación y a un calendario de fases de la Luna.

Los descubrimientos arqueológicos relacionados con las matemáticas se cuentan a millares: pequeñas piedras de colores anudadas a cuerdas, palitos de diferentes longitudes, trazos regulares en las paredes de las cuevas, primitivos ábacos. Nuestros antepasados también utilizaron el cuerpo como instrumento de numeración, aún recordado en medidas como la pulgada, el pie o la brazada.

Parece que en el año 4141 antes de Cristo los egipcios establecieron el calendario de 365 días. En el cuarto milenio antes de nuestra era se produjo un gran desarrollo cultural que trajo el uso de la escritura, la rueda, los metales y un sistema decimal de numeración. A finales de este maravilloso milenio comenzó el gobierno de la primera dinastía y hay una inscripción de esa época relativa a 120.000 cautivos, 400.000 bueyes y 1.422.000 cabras en las que cada unidad decimal está representada por un símbolo especial.

Al comienzo del tercer milenio antes de Cristo la lenta evolución que preparó el amanecer de la ciencia al conocimiento matemático, astronómico y médico se encontraba completada en Egipto y Mesopotamia. Algo menor era el desarrollo en India y China.

Los egipcios desarrollaron una matemática aplicada a la agrimensura, arquitectura y astronomía, con suficientes conocimientos de geometría y aritmética pura. Sus conocimientos estuvieron bastante sistematizados, según se puede comprobar con el papiro Golenishchev, que se encuentra en el Museo de Arte de Moscú, data del siglo XIX antes de Cristo y con el papiro Rhind (foto de la izquierda), que se conserva en Londres en el Museo Británico y proviene del siglo XVII antes de Cristo. Ambos son copias de otros documentos que les superan en unos dos siglos de antigüedad.

Gracias al papiro Rhind, cuya copia la debemos al escriba Ahmes, sabemos que los matemáticos egipcios del siglo XVII antes de Cristo estaban ya en condiciones de resolver problemas complicados con ecuaciones determinadas e indeterminadas de grados primero y segundo, que tenían gran habilidad aritmética y que utilizaban el método de la falsa posición y la regla de tres. Encontraron fórmulas aproximadas del área de un círculo y de una superficie esférica y del volumen de un cilindro y de un tronco de pirámide de base cuadrada.

El papiro Rhind fue escrito trece siglos antes que Los Elementos de Euclides, y ambas obras no son comparables. Sobre el papiro Rhind se necesitaron más de un milenio de esfuerzos adicionales para producir Los Elementos. No obstante, el papiro Rhind no debe considerarse como un comienzo, sino más bien como una culminación de una evolución muy prolongada de la que las pirámides son testimonios elocuentes de posibilidades técnicas y de cálculo. Las técnicas de la matemática egipcia fueron aprendidas por los griegos de los siglos VI al IV a. J.C. en el entorno de la Escuela de Alejandría.

Respecto a la medicina egipcia tenemos datos del médico ilustrado Imhotep (si ese de la película la momia) a comienzos del siglo XXX antes de Cristo. Cuando se llama a Hipócrates de Chios el padre de la medicina no se advierte que Hipócrates está situado en la mitad del período entre Imhotep y nosotros. Trece siglos después de Imhotep, en la época del papiro Rhind, encontramos un tratado médico en el papiro Edwin Smith, que no es una colección de recetas y encantamientos, sino un tratado cuyo orden sistemático se ha mantenido hasta la Edad Media. Contiene cuarenta y ocho casos, cada uno de los cuales sigue el mismo orden: nombre, examen, diagnóstico, juicio, tratamiento y glosa. A finales del cuarto milenio a. J.C. el grado de civilización también era alto en Mesopotamia. Las casas y los templos sumerios aparecían decorados con cerámicas y las construcciones seguían diseños geométricos.

Se construyeron canales para regar la tierra y controlar las inundaciones. La tradición de escribir sobre tablillas de arcilla, luego secadas, ha hecho llegar hasta nosotros una enorme colección documental. El descubrimiento de tablillas en Uruk de cinco mil años de antigüedad nos ha revelado el uso primitivo de la escritura por los sumerios, quienes utilizaban unos dos mil signos diferentes, que eran dibujos estilizados con los que representaban la mayor parte de los objetos. Con el tiempo fueron reduciendo el número de signos y sólo quedaba la tercera parte cuando se produjo la conquista por los acadios. Entonces los primitivos dibujos se habían transformado en combinaciones de cuñas. Había nacido la escritura cuneiforme.

Durante la primera época de la civilización sumeria se representaba una unidad (diez unidades) presionando oblicua (verticalmente) con el estilo fino sobre la arcilla. La misma operación con el estilo grueso servía para representar el 6 y el 60. Se han encontrado miles de tablillas en la época de la dinastía de Hammurabi (1800 – 1600 antes de Cristo) que muestran un sistema de numeración de base 60 que facilitaba la división en 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 o 30 partes iguales. Este sistema sigue utilizándose en medidas de tiempo y de ángulos.

Su gran descubrimiento fue la utilización de la numeración posicional, dando diferente valor a las cifras según la posición ocupada. De esta manera, repitiendo adecuadamente pocos signos, es posible escribir números muy grandes y muy pequeños. La numeración posicional y los eficaces algoritmos que inventaron les proporcionaron gran eficacia como calculistas. Manejaban las operaciones aritméticas fundamentales de manera no muy distinta a como las utilizamos hoy. Les debemos el método manual de obtener raíces cuadradas. Hicieron tablas de multiplicar, de inversos, de potencias y de raíces cuadradas y cúbicas. Con las tablas de inversos reducían la división a la multiplicación. Utilizaban la interpolación en sus cálculos con tablas.

Inicialmente, igual que los egipcios, sólo consideraron la Matemática como un instrumento para establecer calendarios útiles para la agricultura y las fiestas religiosas, pero el sorprendente grado de precisión de ciertos cálculos demuestra que su interés por las matemáticas fue más allá de lo puramente aplicado a sus necesidades.

Este espíritu teórico llevó a los babilonios a adelantar a los egipcios en álgebra. Sabían resolver ecuaciones de segundo grado, utilizaban tablas de sumas de cuadrados y cubos (n^ 3 + n^ 2) para resolver la ecuación x^3 + x^2 = c, y reducían a esta forma la ecuación ax^3 + bx^2 = c, mediante el cambio x = by/a.

Conocían también la relación que unos 1,500 años después se llamó de Teorema de Pitágoras, pues en la tablilla 322 de la colección Plimpton de la Universidad de Columbia aparecen cocientes de ternas pitagóricas del tipo p^2 – q^2, 2pq y p^2 + q^2 que no son más que algunas de las razones trigonométricas que empleaban para hallar longitudes de lados y áreas de triángulos. Por el contenido de otras tablillas parece que también conocían la suma de una progresión geométrica, así como sumas de los cuadrados de números naturales.

En 1936 se desenterró en Susa, trescientos kilómetros al este de Babilonia, unas tablillas que en una lista y con notación sexagesimal dan razones entre áreas y cuadrados de lados para el pentágono, hexágono y heptágono regulares. Se da en notación sexagesimal 0; 57, 36 como relación entre el perímetro del hexágono regular y la longitud de la circunferencia circunscrita, de lo que se deduce 25/8 como aproximación decimal del número ¶.

Además del Teorema de Pitágoras, los babilonios conocían expresiones aproximadas que les daban áreas y volúmenes de muchas figuras2 y algunas relaciones geométricas importantes.

Sabían, por ejemplo, dibujar un ángulo recto inscrito en una circunferencia, resultado conocido hoy como teorema de Thales (imagen de la izquierda), quien vivió más de mil años después de las época en que los babilonios comenzaron a utilizarla. Este hecho nos hace dudar sobre la transmisión del saber babilónico a los griegos. Se debe cuestionar la afirmación muy extendida de que las matemáticas egipcia y babilonia no muestran formulaciones generales y abstracciones, pues los cientos de problemas de tipos parecidos que aparecen en las tablillas cuneiformes babilónicas parecen ser ejercicios que debían resolver los escolares siguiendo ciertos métodos o reglas generales y las repetidas palabras “longitud” y “anchura” se pueden asimilar a las letras “x” e “y” de nuestras ecuaciones. Parece verosímil admitir que algunos escribas habían recorrido el camino que lleva de ejemplos concretos a abstracciones más generales.

El milagro griego
De todo lo que precede se deduce que un cuerpo considerable de conocimientos sistematizados fue muy anterior a la ciencia griega. Esto ayuda a explicar el llamado milagro de la civilización griega. Nadie puede leer la Iliada y la Odisea, primicias de la civilización griega, sin preguntarse qué fue lo que hizo posible tales obras maestras, pues no aparecen relámpagos en un cielo sin nubes. Todo glorioso comienzo enlaza con la culminación de otra brillante época anterior. Parece claro que los griegos tomaron una gran cantidad de observaciones y teorías no clarificadas de los egipcios y de los pueblos de Mesopotamia. Tiene dificultades describir la transmisión de conocimientos desde Egipto hasta Grecia, debido a que la llegada de la edad del hierro a principios del primer milenio estuvo acompañada de acontecimientos revolucionarios muy destructivos, que nos han privado de documentos y nos han impedido, hasta ahora, descifrar muchos textos minoicos y micénicos.

La laguna documental entre las edades de oro de las ciencias egipcia y griega no ha ocultado que muchos de los conocimientos griegos fueron tomados de fuentes orientales. Los ritos de incubación griegos derivan de modelos egipcios. Las comprobaciones del origen babilonio de gran parte de la astronomía griega han permitido averiguar que no fue Hiparco el primero en descubrir la precesión de los equinoccios sino el astrólogo babilonio Kidinnu, alrededor del año 343 antes de Cristo.

Las influencias egipcia y babilónica son patentes en la aritmética griega. La utilización de suma de fracciones de numerador uno y el uso de un símbolo especial para 2/3 se debe a la imitación de los egipcios. El manejo de las fracciones sexagesimales viene de los babilónicos. Pitágoras y Platón, por ejemplo, estuvieron en Oriente.

Los griegos son, desde el siglo VI a. J.C. hasta el predominio romano, el pueblo más importante del mundo civilizado. Su presencia en la cuenca mediterránea les hizo asimilar los hallazgos precedentes. Las maravillas que desarrollaron en esos casi cinco siglos conforman lo que, esencialmente, conocemos como el espíritu occidental. Sus matemáticas, como las de sus predecesores, son inicialmente de carácter práctico, pero el genio griego elevó la matemática al rango de disciplina teórica, pasando de trabajar con objetos sensibles a entes matemáticos, abstractos, ideales, perfectos y eternos, existentes fuera del espacio y del tiempo e independientes de sus representaciones, hechas por el hombre después de captarlos con su pensamiento. La relación entre los entes matemáticos y sus representaciones es la misma que entre las ideas y sus concreciones en palabras, siempre imágenes imperfectas de las ideas. Por ello en las representaciones de la recta, el triángulo o el círculo siempre encontraremos irregularidades. Más tarde, Platón irá mucho más lejos con su conocida teoría de las ideas, cuyo carácter general trasciende la matemática.

En consecuencia, de relaciones particulares entre objetos sensibles se pasa a relaciones generales entre conceptos teóricos, cuya validez universal se establece mediante la demostración, que junto a la organización deductiva de los conocimientos y a la necesidad de admitir sin demostración la certeza de algunos enunciados, que los llamaban postulados, son las tres grandes aportaciones griegas a las matemáticas. Los postulados eran la base desde donde la razón obtenía el resto de proposiciones y teoremas, siguiendo las leyes del pensamiento y probando la veracidad de cada enunciado deducido.

Pitágoras de Samos (imagen de la izquierda)
Esta nueva forma de hacer y entender las matemáticas, que se desarrolla en el final del siglo VI y durante el siglo V a. J.C., va asociada a Pitágoras de Samos, a Hipócrates de Chios, Archytas de Tarento, Theaetetus de Atenas y Eudoxio de Cnido.

Pitágoras de Samos (569 – 475 a.C.) creía en la transmigración de las almas, concebida como un castigo al verse el alma obligada a vivir varias vidas para conseguir la purificación, pasando de una persona a otra e incluso morando en animales o plantas. Afirmaba que el método para obtener la purificación y librarse de la rueda de la reencarnación se obtiene conformando la conducta ética a las leyes y belleza de la naturaleza.

Esta convicción le llevó a fundar una sociedad científica religiosa para descubrir lo más íntimo y bello de Universo a través de su reflejo en la estructura interna de los números. El trabajo matemático de sus miembros, llamados los pitagóricos, no consistió en la creación de objetos matemáticos, que creían que ya existían, sino en descubrir relaciones entre dichos objetos. Suponían que en la naturaleza estaban las ideas de claridad, orden, precisión, belleza y armonía, que deberían estar reflejadas en las relaciones entre los objetos matemáticos, lo que imponía unos límites entre los tenía que discurrir la razón. Todo lo que quedase fuera de esos límites era calificado de irracional. Obtuvieron muchas relaciones y, en particular, al representar los números por puntos, expresaron propiedades geométricas por relaciones numéricas. Ya hemos indicado que la más famosa que se les atribuye, el teorema de Pitágoras, se conocía en Babilonia, varios siglos antes de la época pitagórica.

Los pitagóricos también descubrieron la relación entre las longitudes de las cuerdas de una lira y los acordes fundamentales de la música. La admiración de sus logros les llevó a proclamarse amigos de la sabiduría y a creer que habían penetrado en la estructura interna de los números. Su concepción atomista les ayudó a suponer que los cuerpos estaban formados por átomos, que agrupados según ciertas estructuras geométricas, definidas por secuencias numéricas, permitirían construir figuras. Eso les llevó a pensar que todos los conocimientos, matemáticos y no matemáticos, estaban edificados sobre el concepto de número.

Los pitagóricos intuían desde su concepción numérico atomista que dados dos segmentos cualesquiera existía una unidad de medida contenida un número entero de veces en cada segmento, de lo que deducían que el cociente entre las longitudes de dos segmentos siempre se puede representar por una fracción. Expresaban esta idea diciendo que dos segmentos cualesquiera son siempre conmensurables. Pronto ellos mismos encontraron contradicciones a esta afirmación. Sus ideales de belleza les llevaron a adoptar el pentágono regular como uno de sus símbolos, del que Hyppasus de Metaponto, un pitagórico del siglo V antes de Cristo, encontró que la diagonal y el lado eran inconmesurables, lo que significa que no hay una unidad común contenida un número exacto de veces en ese lado y diagonal.

Aunque decidieron mantener en secreto este descubrimiento no pudieron evitar su expansión. Una historia, tal vez apócrifa, dice que la comunidad pitagórica arrojó a Hyppasus al mar, donde pereció ahogado y acusado de su divulgación. Lo que no es apócrifo es que abortaron lo que pudo haber sido su mayor aportación: El descubrimiento de los números irracionales.

El error pitagórico fue apoyarse en afirmaciones que sostenían por encima de la audacia de la duda o del escrúpulo de la verificación, debido a que sus convicciones, no probadas, les llevaban a fijar el carácter y el alcance de los resultados a que podían llegar.

Zenón de Elea (imagen de la izquierda)
El atomismo llevó a los pitagóricos a postular que la recta y el tiempo se podían dividir indefinidamente y que estaban formados por puntos con dimensión y por instantes con duración. Esos postulados resultaron ser incompatibles debido a las paradojas de Aquiles y la tortuga, de la pista de carreras, de la flecha lanzada hacia la diana y de los tres atletas, elaboradas por Zenón de Elea (490 a.C. – 425 a.C.) para defender las ideas filosóficas de su maestro Parménides frente a los pitagóricos.

Zenón se limitaba a decir, por ejemplo, que de ser ciertos los postulados pitagóricos se tendría que la persecución rectilínea de Aquiles a la tortuga no acabaría nunca, pues cada vez que Aquiles se desplazase desde su posición a la ocupada por la tortuga se tendría que la tortuga estaría situada en otro punto. El absurdo de la conclusión en las cuatro paradojas llevaba a la demostración de la imposibilidad de la admisión simultánea de los postulados pitagóricos del espacio y los del tiempo. El método de demostración utilizado por Zanón le llamamos reducción al absurdo y, desde entonces, lo utilizamos constantemente.

Parménides y Zenón habían nacido en Elea, una pequeña ciudad de la Magna Grecia, al sur de Italia, donde en el siglo VI antes de Cristo habían llegado unos griegos procedentes de Focea, en Asia Menor, huyendo de los persas. Elea ha sido la cuna de un grupo de filósofos que han tenido gran influencia en el pensamiento occidental. Uno de los más importantes fue Parménides, de quien fue discípulo Zenón. En el año 450 antes de Cristo, Parménides y Zenón visitaron Atenas, formando parte de una misión diplomática para convencer a Pericles que firmara un pacto de alianza entre las dos ciudades. También se reunieron con Sócrates, que tenía veinticinco años. Es muy probable que las ideas de Parménides y Zenón influyesen significativamente en el pensamiento socrático, dado que la transmisión de las paradojas de Zenón de Elea la debemos a Aristóteles.

Los errores pitagóricos mostrados en las paradojas de Zenón llevaron a los pensadores griegos a las siguientes consecuencias: 1. Cambiar los postulados, admitiendo que un segmento de recta se puede dividir indefinidamente, pero que está formada por puntos sin dimensión. Su aceptación no es fácil, pues esos puntos geométricos no son entes sensibles. Platón consideraba que pertenecen al mundo de las ideas, como pensamientos de Dios, en tanto que Aristóteles los suponía abstracciones mentales de los puntos materiales.

2. Admitir la existencia de pares de segmentos inconmensurables y relacionar su existencia con las magnitudes irracionales, lo que originó el estudio de las magnitudes irracionales por Theaetetus de Atenas (417 – 369 a.C.), discípulo de Sócrates, cuyas aportaciones se recogieron en el libro X de Los Elementos de Euclides, cuyo propósito, según dice Pappus en la introducción del libro, es “investigar los conmensurables e inconmensurables, magnitudes continuas racionales e irracionales, ciencia con origen en la escuela de Pitágoras, pero que ha tenido un importante desarrollo en las manos de Theaetetus, persona de talento que con paciente investigación estableció distinciones exactas y pruebas irrefutables entre las mencionadas cantidades”.

3. Relacionar los pares de segmentos conmensurables con la teoría de la proporcionalidad, aportación debida a Eudoxio de Cnido y recogida también en Los Elementos de Euclides. Esta teoría fue perfeccionada por el astrónomo, filósofo, matemático y poeta persa Omar Khayyam (1050 – 1123), y fue precursora de la fundamentación del número real hecha en el siglo XIX. El “Álgebra” de Khayyam fue traducida al francés en 1851.

4. Abandonar, en parte, los moldes prefijados que limitaban el pensamiento, sustituyéndolos por la reflexión crítica que sigue modesta y seriamente los pasos del pensamiento en el planteamiento de los problemas y en la demostración de los teoremas, concentrándose, particularmente, en los resultados más originales, audaces e imprevisibles.

5. Sustituir la intuición como método de razonamiento por la demostración, al darse cuenta de la necesidad de establecer demostraciones de todos los resultados conocidos y de que la intuición, tan útil como método de descubrimiento y guía del pensamiento, es peligrosa como método de razonamiento.

Estos cambios radicales en la actitud de matemáticos y filósofos supusieron una nueva forma de pensar, que es la aportación más importante, pero eso, lo dejamos para la 2ª parte.

Esta es mi contribución al carnaval de matemática que organiza el blog Gaussianos.com hay nueva página ver aquí.

salu2 a tod@s 

Mr. Moon.
La vida es un 10% como viene y un 90% como la tomamos