Carnaval de Matemáticas 2.2 : Algunas consideraciones sobre la obra "Los Elementos" de Euclides, Parte I

“Los Elementos”, escrita en trece tomos por Euclides, (imagen de la izquierda) bibliotecario de Alejandría, casi 300 años antes de Cristo. Se suele admitir que es una de las obras que más ha influido en el pensamiento científico. Un dato objetivo que avala esta afirmación es que comparte con La Biblia los primeros puestos en número de ediciones.

El incunable de “Los Elementos” de la biblioteca del monasterio de San Millán de la Cogolla es un ejemplar de la edición Princeps de 25 de mayo de 1482, impresa en Venecia por Erhardus Ratdolt y que contiene la versión latina de Campano de Novara, capellán del Papa Urbano IV. Según Boyer, “Campano utilizó diversas fuentes árabes, así como la primitiva versión latina de Adelhardo Bathoniensi”. Ratdolt dice en el prefacio que es la primera vez que se han impreso figuras geométricas. Esta edición contiene dos libros más escritos por Hipsicles y por Isidoro de Mileto.

En España se encuentran otros ejemplares de esta edición en la Biblioteca Nacional, en la Casa Ducal de Alba, en la Biblioteca del Palacio Real, en la Biblioteca Capitular de Sevilla y en la Biblioteca de la Universidad de Valladolid.

Antecedentes de Los Elementos de Euclides.

Parece que nunca tendremos información adecuada del período antiguo en que el hombre satisfacía sus más urgentes necesidades y, lentamente, emergía de la oscuridad y comenzaba a aparecer su instintiva ansia de poder y conocimiento. Nunca sabremos quien fue el primero que pensó en encender fuego, en fabricar instrumentos de piedra, en domesticar animales o en utilizar la rueda. Tampoco lo sabemos todo sobre el desarrollo del lenguaje y de la escritura. Sin el lenguaje articulado hubiese sido muy difícil el desarrollo del conocimiento, cuya transmisión hubiese sido precaria sin la escritura.

Es muy probable que estos descubrimientos implicasen la colaboración secular de miles de hombres y que los grandes progresos fuesen asegurados por el genio excepcional de algunos de ellos, remachando los resultados obtenidos mediante la acumulación inconsciente de muchas pequeñas aportaciones, asegurando lo conquistado y preparando nuevos movimientos lentos de progreso. Las transiciones entre niveles de conocimiento fueron casi tan lentas como las evoluciones biológicas. Probablemente quedaron totalmente inadvertidas para la mayoría de esos hombres.

De sus vidas y obras nos habla la arqueología, uno de cuyos hallazgos más espectaculares relacionado con las matemáticas es el hueso encontrado en las orillas del lago Edward, en la República del Congo, datado entre el 9000 y el 6500 a. J.C. Posee unas marcas en su asta, que, según las interpretaciones más fiables, corresponden a un sistema de numeración decimal, a los números primos entre 10 y 20, a una tabla de duplicación y a un calendario de fases de la Luna.

Los descubrimientos arqueológicos relacionados con las matemáticas se cuentan a millares: pequeñas piedras de colores anudadas a cuerdas, palitos de diferentes longitudes, trazos regulares en las paredes de las cuevas, primitivos ábacos. Nuestros antepasados también utilizaron el cuerpo como instrumento de numeración, aún recordado en medidas como la pulgada, el pie o la brazada.

Parece que en el año 4141 antes de Cristo los egipcios establecieron el calendario de 365 días. En el cuarto milenio antes de nuestra era se produjo un gran desarrollo cultural que trajo el uso de la escritura, la rueda, los metales y un sistema decimal de numeración. A finales de este maravilloso milenio comenzó el gobierno de la primera dinastía y hay una inscripción de esa época relativa a 120.000 cautivos, 400.000 bueyes y 1.422.000 cabras en las que cada unidad decimal está representada por un símbolo especial.

Al comienzo del tercer milenio antes de Cristo la lenta evolución que preparó el amanecer de la ciencia al conocimiento matemático, astronómico y médico se encontraba completada en Egipto y Mesopotamia. Algo menor era el desarrollo en India y China.

Los egipcios desarrollaron una matemática aplicada a la agrimensura, arquitectura y astronomía, con suficientes conocimientos de geometría y aritmética pura. Sus conocimientos estuvieron bastante sistematizados, según se puede comprobar con el papiro Golenishchev, que se encuentra en el Museo de Arte de Moscú, data del siglo XIX antes de Cristo y con el papiro Rhind (foto de la izquierda), que se conserva en Londres en el Museo Británico y proviene del siglo XVII antes de Cristo. Ambos son copias de otros documentos que les superan en unos dos siglos de antigüedad.

Gracias al papiro Rhind, cuya copia la debemos al escriba Ahmes, sabemos que los matemáticos egipcios del siglo XVII antes de Cristo estaban ya en condiciones de resolver problemas complicados con ecuaciones determinadas e indeterminadas de grados primero y segundo, que tenían gran habilidad aritmética y que utilizaban el método de la falsa posición y la regla de tres. Encontraron fórmulas aproximadas del área de un círculo y de una superficie esférica y del volumen de un cilindro y de un tronco de pirámide de base cuadrada.

El papiro Rhind fue escrito trece siglos antes que Los Elementos de Euclides, y ambas obras no son comparables. Sobre el papiro Rhind se necesitaron más de un milenio de esfuerzos adicionales para producir Los Elementos. No obstante, el papiro Rhind no debe considerarse como un comienzo, sino más bien como una culminación de una evolución muy prolongada de la que las pirámides son testimonios elocuentes de posibilidades técnicas y de cálculo. Las técnicas de la matemática egipcia fueron aprendidas por los griegos de los siglos VI al IV a. J.C. en el entorno de la Escuela de Alejandría.

Respecto a la medicina egipcia tenemos datos del médico ilustrado Imhotep (si ese de la película la momia) a comienzos del siglo XXX antes de Cristo. Cuando se llama a Hipócrates de Chios el padre de la medicina no se advierte que Hipócrates está situado en la mitad del período entre Imhotep y nosotros. Trece siglos después de Imhotep, en la época del papiro Rhind, encontramos un tratado médico en el papiro Edwin Smith, que no es una colección de recetas y encantamientos, sino un tratado cuyo orden sistemático se ha mantenido hasta la Edad Media. Contiene cuarenta y ocho casos, cada uno de los cuales sigue el mismo orden: nombre, examen, diagnóstico, juicio, tratamiento y glosa. A finales del cuarto milenio a. J.C. el grado de civilización también era alto en Mesopotamia. Las casas y los templos sumerios aparecían decorados con cerámicas y las construcciones seguían diseños geométricos.

Se construyeron canales para regar la tierra y controlar las inundaciones. La tradición de escribir sobre tablillas de arcilla, luego secadas, ha hecho llegar hasta nosotros una enorme colección documental. El descubrimiento de tablillas en Uruk de cinco mil años de antigüedad nos ha revelado el uso primitivo de la escritura por los sumerios, quienes utilizaban unos dos mil signos diferentes, que eran dibujos estilizados con los que representaban la mayor parte de los objetos. Con el tiempo fueron reduciendo el número de signos y sólo quedaba la tercera parte cuando se produjo la conquista por los acadios. Entonces los primitivos dibujos se habían transformado en combinaciones de cuñas. Había nacido la escritura cuneiforme.

Durante la primera época de la civilización sumeria se representaba una unidad (diez unidades) presionando oblicua (verticalmente) con el estilo fino sobre la arcilla. La misma operación con el estilo grueso servía para representar el 6 y el 60. Se han encontrado miles de tablillas en la época de la dinastía de Hammurabi (1800 – 1600 antes de Cristo) que muestran un sistema de numeración de base 60 que facilitaba la división en 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 o 30 partes iguales. Este sistema sigue utilizándose en medidas de tiempo y de ángulos.

Su gran descubrimiento fue la utilización de la numeración posicional, dando diferente valor a las cifras según la posición ocupada. De esta manera, repitiendo adecuadamente pocos signos, es posible escribir números muy grandes y muy pequeños. La numeración posicional y los eficaces algoritmos que inventaron les proporcionaron gran eficacia como calculistas. Manejaban las operaciones aritméticas fundamentales de manera no muy distinta a como las utilizamos hoy. Les debemos el método manual de obtener raíces cuadradas. Hicieron tablas de multiplicar, de inversos, de potencias y de raíces cuadradas y cúbicas. Con las tablas de inversos reducían la división a la multiplicación. Utilizaban la interpolación en sus cálculos con tablas.

Inicialmente, igual que los egipcios, sólo consideraron la Matemática como un instrumento para establecer calendarios útiles para la agricultura y las fiestas religiosas, pero el sorprendente grado de precisión de ciertos cálculos demuestra que su interés por las matemáticas fue más allá de lo puramente aplicado a sus necesidades.

Este espíritu teórico llevó a los babilonios a adelantar a los egipcios en álgebra. Sabían resolver ecuaciones de segundo grado, utilizaban tablas de sumas de cuadrados y cubos (n^ 3 + n^ 2) para resolver la ecuación x^3 + x^2 = c, y reducían a esta forma la ecuación ax^3 + bx^2 = c, mediante el cambio x = by/a.

Conocían también la relación que unos 1,500 años después se llamó de Teorema de Pitágoras, pues en la tablilla 322 de la colección Plimpton de la Universidad de Columbia aparecen cocientes de ternas pitagóricas del tipo p^2 – q^2, 2pq y p^2 + q^2 que no son más que algunas de las razones trigonométricas que empleaban para hallar longitudes de lados y áreas de triángulos. Por el contenido de otras tablillas parece que también conocían la suma de una progresión geométrica, así como sumas de los cuadrados de números naturales.

En 1936 se desenterró en Susa, trescientos kilómetros al este de Babilonia, unas tablillas que en una lista y con notación sexagesimal dan razones entre áreas y cuadrados de lados para el pentágono, hexágono y heptágono regulares. Se da en notación sexagesimal 0; 57, 36 como relación entre el perímetro del hexágono regular y la longitud de la circunferencia circunscrita, de lo que se deduce 25/8 como aproximación decimal del número ¶.

Además del Teorema de Pitágoras, los babilonios conocían expresiones aproximadas que les daban áreas y volúmenes de muchas figuras2 y algunas relaciones geométricas importantes.

Sabían, por ejemplo, dibujar un ángulo recto inscrito en una circunferencia, resultado conocido hoy como teorema de Thales (imagen de la izquierda), quien vivió más de mil años después de las época en que los babilonios comenzaron a utilizarla. Este hecho nos hace dudar sobre la transmisión del saber babilónico a los griegos. Se debe cuestionar la afirmación muy extendida de que las matemáticas egipcia y babilonia no muestran formulaciones generales y abstracciones, pues los cientos de problemas de tipos parecidos que aparecen en las tablillas cuneiformes babilónicas parecen ser ejercicios que debían resolver los escolares siguiendo ciertos métodos o reglas generales y las repetidas palabras “longitud” y “anchura” se pueden asimilar a las letras “x” e “y” de nuestras ecuaciones. Parece verosímil admitir que algunos escribas habían recorrido el camino que lleva de ejemplos concretos a abstracciones más generales.

El milagro griego

De todo lo que precede se deduce que un cuerpo considerable de conocimientos sistematizados fue muy anterior a la ciencia griega. Esto ayuda a explicar el llamado milagro de la civilización griega. Nadie puede leer la Iliada y la Odisea, primicias de la civilización griega, sin preguntarse qué fue lo que hizo posible tales obras maestras, pues no aparecen relámpagos en un cielo sin nubes. Todo glorioso comienzo enlaza con la culminación de otra brillante época anterior. Parece claro que los griegos tomaron una gran cantidad de observaciones y teorías no clarificadas de los egipcios y de los pueblos de Mesopotamia. Tiene dificultades describir la transmisión de conocimientos desde Egipto hasta Grecia, debido a que la llegada de la edad del hierro a principios del primer milenio estuvo acompañada de acontecimientos revolucionarios muy destructivos, que nos han privado de documentos y nos han impedido, hasta ahora, descifrar muchos textos minoicos y micénicos.

La laguna documental entre las edades de oro de las ciencias egipcia y griega no ha ocultado que muchos de los conocimientos griegos fueron tomados de fuentes orientales. Los ritos de incubación griegos derivan de modelos egipcios. Las comprobaciones del origen babilonio de gran parte de la astronomía griega han permitido averiguar que no fue Hiparco el primero en descubrir la precesión de los equinoccios sino el astrólogo babilonio Kidinnu, alrededor del año 343 antes de Cristo.

Las influencias egipcia y babilónica son patentes en la aritmética griega. La utilización de suma de fracciones de numerador uno y el uso de un símbolo especial para 2/3 se debe a la imitación de los egipcios. El manejo de las fracciones sexagesimales viene de los babilónicos. Pitágoras y Platón, por ejemplo, estuvieron en Oriente.

Los griegos son, desde el siglo VI a. J.C. hasta el predominio romano, el pueblo más importante del mundo civilizado. Su presencia en la cuenca mediterránea les hizo asimilar los hallazgos precedentes. Las maravillas que desarrollaron en esos casi cinco siglos conforman lo que, esencialmente, conocemos como el espíritu occidental. Sus matemáticas, como las de sus predecesores, son inicialmente de carácter práctico, pero el genio griego elevó la matemática al rango de disciplina teórica, pasando de trabajar con objetos sensibles a entes matemáticos, abstractos, ideales, perfectos y eternos, existentes fuera del espacio y del tiempo e independientes de sus representaciones, hechas por el hombre después de captarlos con su pensamiento. La relación entre los entes matemáticos y sus representaciones es la misma que entre las ideas y sus concreciones en palabras, siempre imágenes imperfectas de las ideas. Por ello en las representaciones de la recta, el triángulo o el círculo siempre encontraremos irregularidades. Más tarde, Platón irá mucho más lejos con su conocida teoría de las ideas, cuyo carácter general trasciende la matemática.

En consecuencia, de relaciones particulares entre objetos sensibles se pasa a relaciones generales entre conceptos teóricos, cuya validez universal se establece mediante la demostración, que junto a la organización deductiva de los conocimientos y a la necesidad de admitir sin demostración la certeza de algunos enunciados, que los llamaban postulados, son las tres grandes aportaciones griegas a las matemáticas. Los postulados eran la base desde donde la razón obtenía el resto de proposiciones y teoremas, siguiendo las leyes del pensamiento y probando la veracidad de cada enunciado deducido.

Pitágoras de Samos (imagen de la izquierda)

Esta nueva forma de hacer y entender las matemáticas, que se desarrolla en el final del siglo VI y durante el siglo V a. J.C., va asociada a Pitágoras de Samos, a Hipócrates de Chios, Archytas de Tarento, Theaetetus de Atenas y Eudoxio de Cnido.

Pitágoras de Samos (569 – 475 a.C.) creía en la transmigración de las almas, concebida como un castigo al verse el alma obligada a vivir varias vidas para conseguir la purificación, pasando de una persona a otra e incluso morando en animales o plantas. Afirmaba que el método para obtener la purificación y librarse de la rueda de la reencarnación se obtiene conformando la conducta ética a las leyes y belleza de la naturaleza.

Esta convicción le llevó a fundar una sociedad científica religiosa para descubrir lo más íntimo y bello de Universo a través de su reflejo en la estructura interna de los números. El trabajo matemático de sus miembros, llamados los pitagóricos, no consistió en la creación de objetos matemáticos, que creían que ya existían, sino en descubrir relaciones entre dichos objetos. Suponían que en la naturaleza estaban las ideas de claridad, orden, precisión, belleza y armonía, que deberían estar reflejadas en las relaciones entre los objetos matemáticos, lo que imponía unos límites entre los tenía que discurrir la razón. Todo lo que quedase fuera de esos límites era calificado de irracional. Obtuvieron muchas relaciones y, en particular, al representar los números por puntos, expresaron propiedades geométricas por relaciones numéricas. Ya hemos indicado que la más famosa que se les atribuye, el teorema de Pitágoras, se conocía en Babilonia, varios siglos antes de la época pitagórica.

Los pitagóricos también descubrieron la relación entre las longitudes de las cuerdas de una lira y los acordes fundamentales de la música. La admiración de sus logros les llevó a proclamarse amigos de la sabiduría y a creer que habían penetrado en la estructura interna de los números. Su concepción atomista les ayudó a suponer que los cuerpos estaban formados por átomos, que agrupados según ciertas estructuras geométricas, definidas por secuencias numéricas, permitirían construir figuras. Eso les llevó a pensar que todos los conocimientos, matemáticos y no matemáticos, estaban edificados sobre el concepto de número.

Los pitagóricos intuían desde su concepción numérico atomista que dados dos segmentos cualesquiera existía una unidad de medida contenida un número entero de veces en cada segmento, de lo que deducían que el cociente entre las longitudes de dos segmentos siempre se puede representar por una fracción. Expresaban esta idea diciendo que dos segmentos cualesquiera son siempre conmensurables. Pronto ellos mismos encontraron contradicciones a esta afirmación. Sus ideales de belleza les llevaron a adoptar el pentágono regular como uno de sus símbolos, del que Hyppasus de Metaponto, un pitagórico del siglo V antes de Cristo, encontró que la diagonal y el lado eran inconmesurables, lo que significa que no hay una unidad común contenida un número exacto de veces en ese lado y diagonal.

Aunque decidieron mantener en secreto este descubrimiento no pudieron evitar su expansión. Una historia, tal vez apócrifa, dice que la comunidad pitagórica arrojó a Hyppasus al mar, donde pereció ahogado y acusado de su divulgación. Lo que no es apócrifo es que abortaron lo que pudo haber sido su mayor aportación: El descubrimiento de los números irracionales.

El error pitagórico fue apoyarse en afirmaciones que sostenían por encima de la audacia de la duda o del escrúpulo de la verificación, debido a que sus convicciones, no probadas, les llevaban a fijar el carácter y el alcance de los resultados a que podían llegar.

Zenón de Elea (imagen de la izquierda)

El atomismo llevó a los pitagóricos a postular que la recta y el tiempo se podían dividir indefinidamente y que estaban formados por puntos con dimensión y por instantes con duración. Esos postulados resultaron ser incompatibles debido a las paradojas de Aquiles y la tortuga, de la pista de carreras, de la flecha lanzada hacia la diana y de los tres atletas, elaboradas por Zenón de Elea (490 a.C. – 425 a.C.) para defender las ideas filosóficas de su maestro Parménides frente a los pitagóricos.

Zenón se limitaba a decir, por ejemplo, que de ser ciertos los postulados pitagóricos se tendría que la persecución rectilínea de Aquiles a la tortuga no acabaría nunca, pues cada vez que Aquiles se desplazase desde su posición a la ocupada por la tortuga se tendría que la tortuga estaría situada en otro punto. El absurdo de la conclusión en las cuatro paradojas llevaba a la demostración de la imposibilidad de la admisión simultánea de los postulados pitagóricos del espacio y los del tiempo. El método de demostración utilizado por Zanón le llamamos reducción al absurdo y, desde entonces, lo utilizamos constantemente.

Parménides y Zenón habían nacido en Elea, una pequeña ciudad de la Magna Grecia, al sur de Italia, donde en el siglo VI antes de Cristo habían llegado unos griegos procedentes de Focea, en Asia Menor, huyendo de los persas. Elea ha sido la cuna de un grupo de filósofos que han tenido gran influencia en el pensamiento occidental. Uno de los más importantes fue Parménides, de quien fue discípulo Zenón. En el año 450 antes de Cristo, Parménides y Zenón visitaron Atenas, formando parte de una misión diplomática para convencer a Pericles que firmara un pacto de alianza entre las dos ciudades. También se reunieron con Sócrates, que tenía veinticinco años. Es muy probable que las ideas de Parménides y Zenón influyesen significativamente en el pensamiento socrático, dado que la transmisión de las paradojas de Zenón de Elea la debemos a Aristóteles.

Los errores pitagóricos mostrados en las paradojas de Zenón llevaron a los pensadores griegos a las siguientes consecuencias: 1. Cambiar los postulados, admitiendo que un segmento de recta se puede dividir indefinidamente, pero que está formada por puntos sin dimensión. Su aceptación no es fácil, pues esos puntos geométricos no son entes sensibles. Platón consideraba que pertenecen al mundo de las ideas, como pensamientos de Dios, en tanto que Aristóteles los suponía abstracciones mentales de los puntos materiales.

2. Admitir la existencia de pares de segmentos inconmensurables y relacionar su existencia con las magnitudes irracionales, lo que originó el estudio de las magnitudes irracionales por Theaetetus de Atenas (417 – 369 a.C.), discípulo de Sócrates, cuyas aportaciones se recogieron en el libro X de Los Elementos de Euclides, cuyo propósito, según dice Pappus en la introducción del libro, es “investigar los conmensurables e inconmensurables, magnitudes continuas racionales e irracionales, ciencia con origen en la escuela de Pitágoras, pero que ha tenido un importante desarrollo en las manos de Theaetetus, persona de talento que con paciente investigación estableció distinciones exactas y pruebas irrefutables entre las mencionadas cantidades”.

3. Relacionar los pares de segmentos conmensurables con la teoría de la proporcionalidad, aportación debida a Eudoxio de Cnido y recogida también en Los Elementos de Euclides. Esta teoría fue perfeccionada por el astrónomo, filósofo, matemático y poeta persa Omar Khayyam (1050 – 1123), y fue precursora de la fundamentación del número real hecha en el siglo XIX. El “Álgebra” de Khayyam fue traducida al francés en 1851.

4. Abandonar, en parte, los moldes prefijados que limitaban el pensamiento, sustituyéndolos por la reflexión crítica que sigue modesta y seriamente los pasos del pensamiento en el planteamiento de los problemas y en la demostración de los teoremas, concentrándose, particularmente, en los resultados más originales, audaces e imprevisibles.

5. Sustituir la intuición como método de razonamiento por la demostración, al darse cuenta de la necesidad de establecer demostraciones de todos los resultados conocidos y de que la intuición, tan útil como método de descubrimiento y guía del pensamiento, es peligrosa como método de razonamiento.

Estos cambios radicales en la actitud de matemáticos y filósofos supusieron una nueva forma de pensar, que es la aportación más importante, pero eso, lo dejamos para la 2ª parte.

Esta es mi contribución al carnaval de matemática que organiza el blog Gaussianos.com hay nueva página ver aquí.

salu2 a tod@s 

Mr. Moon.

La vida es un 10% como viene y un 90% como la tomamos