miércoles, 23 de marzo de 2011

Carnaval de Matemáticas 2.2 : Algunas consideraciones sobre la obra "Los Elementos" de Euclides, Parte II

Continuando la celebración de este Carnaval, posteamos la 2a entrega y última sobre la monumental obra y sus repercusiones "Los Elementos" de Euclides, la primera parte se puede leer aquí., el carnaval tiene nueva web http://carnavaldematematicas.bligoo.es/ y lo promueve el blog Gaussianos.


Los Elementos de Euclides, Parte II
Como se dijo en la primera parte, estos cambios radicales en la actitud de matemáticos y filósofos suponen una nueva forma de pensar, que es la aportación más importante de la matemática griega y el comienzo de una tradición expositiva matemática que llega hasta nuestros días, llamada forma hipotético deductiva de razonamiento, y que distingue a la Matemática griega de todo lo que la ha precedido. El teorema de Pitágoras, por citar sólo un ejemplo, era conocido más de mil años antes de Pitágoras, pero su establecimiento riguroso mediante una prueba de carácter general es un producto genuino de esta nueva forma de pensamiento.

Recogiendo sistematizadamente los resultados conocidos, expuestos con esta nueva forma de proceder, e incorporando algunos nuevos, Euclides (325 – 265 a.C.), bibliotecario de Alejandría, escribió la obra “Los Elementos” alrededor del año 300 antes de Cristo. 
Está compuesta de trece libros titulados:
Libro I: Congruencia de triángulos, paralelas, áreas de triángulos y rectángulos.
Libro II: Relaciones de igualdad en triángulos, cuadrados y rectángulos.
Libro III: Círculos.
Libro IV: Construcción de polígonos en círculos.
Libro V: Teoría de proporciones.
Libro VI: Semejanza de figuras rectilíneas planas.
Libro VII: Proporciones, máximo común divisor, mínimo común múltiplo, primos relativos.
Libro VIII: Progresiones, números cuadrados y cúbicos.
Libro IX: Factorización de primos, infinitud de los primos, números perfectos.
Libro X: Teoría de líneas irracionales.
Libro XI: Relaciones entre figuras sólidas.
Libro XII: Relaciones entre círculos y esferas, volúmenes de pirámides y conos.
Libro XIII: Construcción de sólidos regulares en esferas.

Lo que es magistral en Los Elementos es el método. Desarrollan toda la geometría y la aritmética elemental partiendo de cinco “postulados” y estableciendo teoremas y proposiciones sólo a partir de los postulados y de los resultados ya demostrados mediante las reglas del razonamiento deductivo. 

Los cinco postulados son:
1. Dos puntos arbitrarios se pueden unir por un segmento de recta.
2. Cualquier segmento de recta se puede extender indefinidamente a una recta en ambas direcciones.
3. Dados dos puntos cualesquiera, hay una circunferencia con centro en el primero que pasa por el segundo.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Si al cortar dos rectas por una tercera, ésta forma dos ángulos interiores al mismo lado que suman menos de dos rectos, entonces las dos rectas primeras se cortan en algún punto a ese lado.

El quinto postulado se le llama el postulado de las paralelas debido a que un enunciado equivalente al dado es que por un punto exterior a una recta pasa una sola recta paralela a la dada.

La fascinación intelectual que produjo la presentación de las matemáticas tal como aparece en “Los Elementos” los ha elevado al rango de modelo del discurso de la razón desde entonces.

Descartes (imagen de la izquierda), en la primera parte de su “Discurso del Método” escribió que “gustaba, sobre todo, de las matemáticas por la certeza y evidencia de sus razones”, y en la segunda parte dice: “Esas largas cadenas de trabadas razones muy simples y fáciles, que los geómetras acostumbran a emplear para llegar a sus más difíciles demostraciones, me habían dado ocasión para imaginar que todas las cosas que entran en la esfera del conocimiento humano se encadenan de la misma manera”.

Al matemático jesuita Saccheri se debe la obra Logica Demonstrativa (1697) escrita en forma de definiciones, postulados y demostraciones, al estilo de Euclides en sus propias palabras. Spinoza también se inspiró en Los Elementos para desarrollar su Ética, que la titula “Ética demostrada en con el método geométrico”, y lo mismo hizo Hobbes en el desarrollo de su “Teoría política”. El trabajo genial de Euclides tiene muchos aspectos dignos de mención especial. Sólo comentaremos tres.

1. La distinción implícita entre los infinitos actual y potencial. En ninguno de sus trece libros aparece explícitamente que la recta sea un conjunto de infinitos puntos y evita siempre considerar conjuntos con infinitos elementos. En lugar de escribir que el conjunto de números primos es infinito, expone que dado un número primo cualquiera existe otro número primo mayor que él. En nuestro tiempo decimos que un conjunto definido por una propiedad A es infinito potencial, si dado un número natural n podemos encontrar en A más de n elementos diferentes con esa propiedad. El concepto de infinito actual supone la existencia de conjuntos infinitos, como entes que están ahí, y cuya admisión ha llevado a importantes problemas matemáticos que, tal vez, Euclides los intuyó y decidió evitarlos no utilizando el infinito actual.

2. La elegante utilización de la reducción al absurdo en las demostraciones. En Los Elementos se establece con este método y el teorema de Pitágoras la inconmensurabilidad entre la diagonal y el lado de un cuadrado, razonando así: La conmensurabilidad implica que √2 = p/q , donde la fracción es irreducible, y al elevar al cuadrado se obtiene que p es par. Sustituyendo p = 2r y simplificando se deduce que √2=q/r, luego, repitiendo el argumento anterior se llega a que q también es par. De la inexistencia de una fracción irreducible con numerador y denominador pares se deduce que es absurdo que la diagonal y el lado de un cuadrado sean conmensurables.

3. Su reticencia a utilizar su quinto postulado, tal vez debido a que pensase que era consecuencia de los cuatro primeros. No lo utiliza hasta la Proposición 1.29. Precisamente uno de los problemas más fascinantes de la Historia de la Ciencia, llamado por los griegos “el cuarto problema de la geometría”, ha sido el intento de probar que el quinto postulado era consecuencia de los cuatro anteriores. Ya Ptolomeo (imagen de la izquierda), en el año 150, intentó sin éxito demostrar que el quinto postulado era consecuencia de los otros cuatro.

También Alhazen (965 – 1039) en la Escuela de El Cairo intentó demostrar el quinto postulado considerando un cuadrilátero trirrectángulo, llamado hoy cuadrilátero de Lambert en honor al matemático del siglo XVIII que lo estudió sistemáticamente. Alhazen creyó haber demostrado el quinto postulado de Euclides, pero utilizó en su demostración que el lugar geométrico de un punto que se mueve permaneciendo a distancia constante de una recta es otra recta paralela a la dada, lo que se ha demostrado modernamente que es equivalente al postulado de Euclides.

El científico y poeta persa Omar Khayyam (1050 –1123) criticó la demostración de Alhazen con la indicación de que Aristóteles había excluido el uso del movimiento en geometría e intentó otra prueba del quinto postulado partiendo de un cuadrilátero con dos lados iguales y perpendiculares a su base, llamado hoy día “cuadrilátero de Saccheri” en honor del matemático del siglo XVIII que investigó las posibilidades que pueden darse con los dos ángulos superiores, necesariamente iguales: 1) ser los dos agudos, 2) los dos ángulos obtusos o 3) los dos rectos.

Los dos primeras posibilidades las excluye Omar Khayyam basándose en que dos rectas convergentes deben cortarse, principio que atribuye a Aristóteles. Pero resulta de nuevo que este principio es equivalente al postulado del paralelismo de Euclides, por tanto Omar Khayyam también fracasó en su intento de demostrar el quinto postulado. A Omar Khayyam se le debe también el reemplazar la teoría de proporciones de Euclides por un planteamiento numérico con lo que se acercó a la definición moderna de número racional y comenzó a cerrar el abismo entre el álgebra numérica hindú y geométrica griega que culminaría Descartes.

Proféticamente escribió que “cualquiera que piense que el Álgebra es un sistema de trucos para obtener los valores de las incógnitas piensa vanamente. No se debe prestar ninguna atención al hecho de que el álgebra y la geometría son en apariencia diferentes. Los hechos del álgebra son hechos geométricos que están demostrados”.

Ya en plena decadencia árabe, Nasir Eddin Al Tusi (1201 – 1274 imagen de la izquierda), nieto de Gengis Khan, continuó los esfuerzos por demostrar el quinto postulado de las paralelas del libro de Euclides partiendo de las tres hipótesis posibles del cuadrilátero de Saccheri. Se considera a Al Tusi como uno de los precursores de la geometría no euclídea, pues la traducción de su obra por Wallis en el siglo XVII fue el punto de partida de los desarrollos llevados a cabo por Saccheri en el primer tercio del siglo XVIII.

Saccheri fue el primero en analizar en 1733 la dependencia del quinto postulado de los cuatro primeros mediante reducción al absurdo: Supone que el quinto postulado es falso e intenta llegar a una contradicción. Después de un estudio muy cuidadoso, concluyó de forma precipitada la deseada contradicción. Lambert recorrió posteriormente, en 1766, un camino similar pero, más prudente, se limitó a exponer sus muy perspicaces conclusiones alternativas.

Alrededor de 1830 y casi con simultaneidad, Gauss (imagen de la izquierda) en Alemania, Bolyai en Hungría y Lobachevsky en Rusia se percatan de que si en lugar de suponer el quinto postulado se supone que por un punto exterior a una recta pasa más de una recta paralela se obtiene una teoría diferente de la euclídea, posteriormente denominada “geometría de Lobachevsky o geometría hiperbólica”. Beltrami, Poincaré y Klein establecieron modelos para esta nueva geometría, distinta de la euclídea, lo que probaba la independencia del quinto postulado de los cuatro anteriores, dado que los cuatro primeros postulados pueden convivir con un quinto postulado contradictorio con el de Euclides y generar otra geometría.

(pincaré en la imagen de la izquierda) Con este resultado aún no terminó el quinto postulado de generar frutos, pues su sustitución por la hipótesis de que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela permitió obtener la llamada geometría elíptica o “riemanniana”, de aplicación en la teoría de la relatividad de Einstein.

Finalmente, al establecerse que no hay una geometría que sea más valida que las otras se probó la falsedad de la idea de Kant de que los conceptos de espacio de la geometría euclídea y de tiempo están en nuestro pensamiento como un marco de referencia. El ideal griego de contemplar lo bello y armonioso de la naturaleza está presente en “Los Elementos”. El eje en torno al que giran sus argumentos es la geometría y uno de sus objetivos es reducir los problemas matemáticos a construcciones geométricas con regla y compás, que son los instrumentos generadores de las líneas perfectas, la recta y la circunferencia.

Los primeros problemas que aparecen en los “Elementos” son de intersecciones de rectas y circunferencias y plantean resolver con regla y compás la duplicación del cubo, la trisección del ángulo, y la cuadratura del círculo, en lo que se venía trabajado intensamente desde el siglo V a. J.C. y continuaron pensando muchos de los mejores matemáticos durante los veintidós siglos siguientes, hasta que Pierre Wantzel probó la irresolubilidad de los dos primeros y, casi simultáneamente, Ferdinand von Lindemann obtuvo la demostración de la imposibilidad de la cuadratura del círculo con regla y compás. La importancia histórica de estos tres problemas está en las muchas cuestiones que se desarrollaron y resolvieron buscando su solución, lo que llevó a Klein a decir que “se buscó hierro y se encontró oro”.

Los griegos nos dejaron soluciones aproximadas de estos tres problemas. Por ejemplo, Hippias de Elis (460 – 400 a.C.) construyó aproximadamente una curva, la cuadratiz, que permitía dividir un ángulo en dos partes proporcionales a dos números dados. Utilizaba métodos geométricos y cinemáticos y se adelantaba al cálculo aproximado y a la noción de límite.

De estas consideraciones es fácil deducir “Los Elementos” es una obra casi perfecta y adelantada muchos siglos a su tiempo, lo que llevó a que Don Julio Rey Pastor, el más emblemático de los matemáticos españoles fallecidos durante el siglo XX, afirmase: “Si pretendieras agregar o quitar algo de Los Elementos de Euclides reconocerías de inmediato que te alejas de la ciencia y te acercas hacia el error y la ignorancia”.

Algunas influencias de Los Elementos
Los Elementos han influido decisiva y significativamente, bien directa o indirectamente, en casi todos los científicos posteriores al siglo III a. J.C. Por limitaciones de espacio y tiempo daremos un bosquejo de la influencia de Los Elementos en Arquímedes, en los matemáticos árabes y en Newton.

Los Elementos y Arquímedes
En la vida científica de Arquímedes de Siracusa (287 – 212 a.C.) tuvieron influencia estos tres hechos: El ser hijo del astrónomo Phidias, célebre astrónomo que junto Eudoxo y Aristarchus había propuesto un sistema heliocéntrico. La visita en su juventud a Egipto, donde estudió con lo sucesores de Euclides y entabló amistad con muchos de ellos, particularmente con Conon de Samos, a quien Arquímedes admiraba por sus habilidades matemáticas. En el prólogo de su libro Sobre las espirales nos cuenta que tenía la costumbre de enviar a sus amigos de Alejandría las proposiciones geométricas que descubría y le respondían en muchas ocasiones que eran resultados que ya conocían, por lo que para averiguar quienes estaban faltos de espíritu científico decidió en lo sucesivo enviar algunas proposiciones falsas intercaladas entre las correctas para descubrir quien era capaz de atribuirse hasta lo erróneo.

El tercer hecho es su parentesco y amistad con el rey Heron II de Siracusa, quien le convenció que dedicase parte del tiempo que empleaba en sus razonamientos sobre matemática pura a idear artefactos de guerra para defenderse de los romanos, gracias a los cuales el comandante romano Marcellus fue derrotado cuando sitió Siracusa en la primera guerra púnica. Arquímedes adquirió gran fama en vida por sus aplicaciones, bélicas y no bélicas, consecuencia de sus descubrimientos físicos de las leyes de la palanca, la polea y del empuje de un cuerpo sumergido en un fluido, que, además de derrotar a Marcellus le permitieron mover un barco sobre la arena y comprobar la estafa en la corona que Herón II había mandado hacer para ofrecerla a Júpiter. Sobrevive su frase de que si existiese un punto de apoyo cercano a la Tierra conseguiría moverla.

La fama que las invenciones mecánicas dieron a Arquímedes no influyeron en su creencia de que lo más valioso era el desarrollo de la matemática pura. No hacía comentarios sobre las invenciones aplicadas que le habían dado la fama. Parecía repudiar lo que sólo tenía una utilidad práctica, y ponía su interés en las especulaciones teóricas sin referencia a las necesidades ordinarias de la vida. Su interés y admiración se concentraba en estudiar los objetos que tenían belleza y grandeza, así como en las demostraciones precisas y contundentes.

Plutarco matiza más esta idea diciendo que Arquímedes utilizaba sus descubrimientos mecánicos para obtener resultados de geometría pura, afirmación confirmada en el verano de 1906 cuando J.L. Heiberg, profesor de filosofía en la Universidad de Copenague, accidentalmente descubrió en Estambul la obra de Arquímedes “El Método” un original uso de la estática como guía de sus descubrimientos5, pues “ciertos hechos – escribe Arquímedes en El Método – me parecen claros por un método mecánico, que no suministra una prueba real. Por tanto, deben ser probados después por el método geométrico. El conocimiento inicial por el método mecánico facilita la posterior demostración geométrica”. Arquímedes asocia los razonamientos mecánicos con intuición y exploración y la demostración, como buen seguidor de Euclides, la vincula al razonamiento geométrico.

Los Elementos de Euclides en la matemática árabe.
Un complot provocó la huida de Mahoma de la Meca a Medina en el año 622 y el comienzo de la Era Mahometana. El éxito de Mahoma en Medina le convirtió en un líder militar y religioso que formó un estado con capitalidad en La Meca. Su muerte repentina en Medina el año 632, mientras planeaba atacar el Imperio Bizantino, no fue obstáculo para la extensión del estado islámico. Mahoma había logrado unir a las tribus árabes e inspirarles un gran fervor que les permitiría conquistar el mundo. Damasco fue tomada en el 635, Jerusalén en el 637, la conquista de Egipto se terminó en el 641 con la toma de Alejandría, centro matemático del mundo en los últimos mil años, y con la destrucción de muchos tesoros documentales de la que había sido la mayor biblioteca del mundo, (extrañamos mucho los posibles documentos tan geniales como el mecanismo de anticitera, véase la www.pizarradeyuri.com).

La conquista de Persia, al año siguiente, puso a los árabes en contacto con la refinada cultura iraní. Cuando en el 712 conquistaron España, los seguidores del profeta gobernaban una ancha zona del mundo que se extendía desde el Asia central hasta el lejano Occidente. Durante más de un siglo los conquistadores árabes lucharon entre sí y con sus enemigos hasta que, al fin, hacia el 750 el espíritu guerrero cedió, surgió un cisma entre los árabes de Occidente que ocupaban España y Marruecos y los árabes de Oriente que durante el califato de Al-Mansur establecieron su capital en Bagdad. Esta ciudad pronto iba a convertirse en el centro mundial del desarrollo de la matemática debido a la combinación de varias fuerzas: La cultura persa, el deseo de los árabes de asimilar las civilizaciones que habían invadido y la pasión por el conocimiento que demostraron los califas al-Mansûr, Hârûn al-Rashîd y al-Ma`mûn, bajo cuyos mandatos la nueva civilización se desarrolló con increíble velocidad y Bagdad se convirtió en una nueva Alejandría. Sabios de Siria, Irán y Mesopotamia, incluidos judíos y cristianos fueron llamados a Bagdad. Se llama “milagro árabe” a la celeridad con que asimilaron la cultura de sus vecinos en cuanto empezaron a saborearla. Su mérito se pondera mejor si se considera el escaso bagaje intelectual con que comenzaron sus conquistas.

Sus tutores persas les incitaban a beber hasta saciarse en las antiguas fuentes del saber sánscrito y griego. De los hindúes aprendieron aritmética, álgebra, trigonometría, y química; de los griegos, lógica, geometría, astronomía y medicina. El grado de uniformidad cultural árabe no resultó alto, pues siempre hubo en el mundo árabe una división muy sensible en facciones que desembocó en conflictos. Vínculo común en el mundo islámico fue el idioma, conservado por la obligación de leer el Corán en árabe. La gran extensión del dominio musulmán les hizo asimilar culturas muy variadas, fundidas por el ecléctico carácter árabe, a las que incorporaron elementos propios.

La matemática árabe consta de:
- Una aritmética basada en el principio posicional que provenía de la India.
- Un álgebra con orígenes en Grecia, India y Babilonia que adoptó una forma nueva y sistemática en manos de los árabes.
- Una trigonometría proveniente de Grecia e India. Los árabes se inclinaron por los métodos indios de la semicuerda, o función seno, ampliándolos con nuevas funciones y relaciones.
- Y una geometría que venía de “Los Elementos” de Euclides, que los árabes enriquecieron con generalizaciones y estudios críticos relativos al axioma del paralelismo de Euclides, que ya hemos considerado.

Los Elementos llegaron al pensamiento árabe durante el califato Al-Raschid, conocido por los cuentos de Las mil y una noches, con la traducción al árabe parte de la obra de Euclides. En el califato de Al Mamun se tradujeron al árabe muchas de las joyas de la antigüedad, como el Almagesto de Ptolomeo, y una versión completa de Los Elementos de Euclides.

Al-Mamun fundó en Bagdad la Casa de la Sabiduría, comparable al antiguo Museo de Alejandría. Era una especie de Universidad en la que estuvo Abu Jaffar Mohammed ibn-Musa Al-Khowarizmi (de cuyo apellido deriva la palabra algoritmo, imagen de la izquierda), matemático y astrónomo y que iba a hacerse, junto con Euclides, muy popular en la baja Edad Media. Durante la primera mitad del siglo XX escribió una docena de libros, basados en la obra hindú Sindhind, que versaron sobre el astrolabio, el reloj de sol, aritmética y álgebra.

En el primero de los dos libros sobre aritmética y álgebra, del que sólo se conserva la traducción latina “De numero indorum” (Sobre el arte de calcular hindú), dio una exposición completa del sistema de numeración hindú, responsable de la extendida y falsa creencia de que nuestro sistema de numeración es de origen árabe. De otra obra de Al-Khowarizmi, “Al-jabr wa’l muqäbalah”, aprendería más tarde Europa la parte de la matemática que lleva ese nombre. Contiene una exposición directa y elemental de la resolución de ecuaciones, especialmente las de segundo grado.

Esta obra representa para el Álgebra lo mismo que Los Elementos para la Geometría, por haber sido, hasta tiempos modernos, la mejor exposición elemental de álgebra conocida, debido, en opinión bastante generalizada, a que el marco geométrico y lógico con que justifica sus soluciones tiene el sello griego de “Los Elementos” de Euclides. Al-Khowarizmi murió poco antes del 850. En la segunda mitad del siglo IX Thabit Ibn-Qurra (826 – 901) fundó una importante escuela de traductores desde el griego y el sirio.

Le debemos la traducción al árabe de las obras de Euclides, Arquímedes, Apolonio, Ptolomeo y Eutocio, impidiendo así que fuese menor el número de obras árabes que han llegado hasta nosotros. Su traducción de “Los Elementos” de Euclides tuvo una gran influencia en la matemática árabe. En el siglo X vemos que Al-Karki sigue con la costumbre griega de utilizar la geometría de Euclides en la resolución de ecuaciones, si bien ya intenta su resolución por radicales, preparando así los primeros desarrollos matemáticos del Renacimiento.

Al-Biruni (973 – 1048) aporta la traducción algebraica de problemas geométricos, siendo uno de los más notables la reducción del problema de inscribir el eneágono en una circunferencia a la resolución de la ecuación x^3 = 1 + 3x. Otra traducción de Los Elementos de Euclides se debe a Avicena (980 – 1037), que fue el sabio enciclopédico persa más importante del Islam.

Los Elementos en Newton
Avanzando unos siglos llegó la reforma gregoriana del calendario, que no fue adoptada en Inglaterra hasta 1752. Por ello, con el calendario local inglés, Isaac Newton nació el día de Navidad de 1642 en Woolsthorpe, Lincolnshire (Inglaterra), que corresponde al 4 de enero de 1643 en el calendario gregoriano. Su padre, un rico granjero sin cultura, había muerto tres meses antes de su nacimiento en el enfrentamiento entre el Rey Jacobo I y los puritanos. Los primeros contactos escolares de Newton fueron malos, pues era holgazán y no atento. En que Newton estudiase tuvieron una influencia decisiva su tío, el reverendo William Ayscough, que le animó a seguir estudiando en la Free Grammar School en Granthman, y el director de este centro, apellidado Stokes y enamorado de Los Elementos de Euclides, quien transmitió a Newton la pasión por aprender según el esquema de Los Elementos y convenció a su madre que le enviase a la Universidad.

El 5 de junio de 1661 ingresó en el Trinity College de Cambridge. La enseñanza en Cambrige estaba dominada por la filosofía de Aristóteles, si bien se permitía cierta libertad de estudio en el tercer año, lo que permitió a Newton estudiar la filosofía de Descartes, Gassendi, Hobbes y Boyle.

También le atraía la mecánica de la astronomía de Galileo y la Óptica de Kepler. Encabezó unos apuntes de 1664 titulados Questiones Quaedam Philosophicae (Ciertas Cuestiones Filosóficas) con la sentencia: “Platón es mi amigo, Aristóteles es mi amigo, pero mi mejor amigo es la verdad”, mostrándose como un pensador libre a tan corta edad.

El interés de Newton por la matemática aumentó en otoño de 1663 cuando, en una feria en Cambrige, adquirió un libro de astrología y otro de trigonometría cuyos aspectos matemáticos no pudo entender. Entonces llegó Barrow a la cátedra Lucasiana del Trinity College de Cambridge y le orientó hacia el estudio de Clavis Mathematica de Oughtred, La Geometría de Descartes, las obras completas de Vieta, el Álgebra de Wallis y su método de obtener el área de segmentos de parábolas e hipérbolas con los indivisibles de Cavalieri. Barrow también facilitó a Newton su traducción de Los Elementos de Euclides, libro que Newton siempre admiró.

Después de terminar sus estudios en Abril de 1665, la peste obligó a cerrar la Universidad. Newton se retiró durante casi dos años a Lincolnshire, durante los cuales hizo revolucionarios avances en óptica, física, astronomía y matemáticas. Elaboró el método de las fluxiones, basado en su descubrimiento de que la integración de una función es el procedimiento inverso de la diferenciación. Utilizando la diferenciación como operación básica estableció los fundamentos del cálculo diferencial e integral con los que unificó técnicas dadas con anterioridad para resolver problemas aparentemente no correlacionados, como calcular áreas, tangentes, longitudes de curvas y máximos y mínimos de funciones.

La obra de Newton De Methodis et Fluxionum fue escrita en 1671, si bien no fue publicada hasta que en 1736 John Colson hizo la traducción al inglés. Tras la peste se reabrió la Universidad de Cambridge (1667) y Newton recibió una beca en 1669, año en el que Barrow intentó que los descubrimientos de Newton fuesen universalmente conocidos. Barrow dimitió de la cátedra Lucasiana en 1669 para dedicarse al cultivo de la espiritualidad, y consiguió que le sustituyese Newton, que sólo tenía 27 años.

Las mayores aportaciones de Newton fueron sus grandes descubrimientos en Física y en Mecánica Celeste que culminaron con la teoría de la gravitación universal. En 1666 Newton tenía una primera versión de sus tres leyes de dinámica y había obtenido la ley de la fuerza centrífuga de un cuerpo moviéndose uniformemente en una circunferencia, lo que le permitió imaginar que la fuerza de gravedad de la Tierra equilibraba la fuerza centrífuga de la Luna. Esta idea y la tercera ley de Kepler del movimiento planetario le permitieron deducir la ley de atracción de dos masas (F=GMm/r^2).

Una discusión científica entre Edmond Halley, Robert Hooke y Sir Christopher Wren sobre el movimiento de un cometa motivó una pregunta de Halley a Newton, quien dio respuesta inmediata de que la trayectoria del cometa sería una elipse. De nuevo Halley interpeló a Newton cómo deducía que el cometa seguiría órbita elíptica y Newton respondió que “por que lo había calculado”. Halley, impresionado por la respuesta y por la incapacidad de Newton de encontrar sus cálculos, le convenció para que escribiese un tratado sobre su nueva concepción de la Física y su aplicación a la Astronomía.

En 1687, Newton publicaba su Philosophiae naturalis principia mathematica o Principia, como se la conoce generalmente, redactado en algo menos de un año de dedicación absoluta. El Principia se reconoce como el mejor libro científico jamás escrito, que no hubiese podido nacer sin su anterior descubrimiento del cálculo infinitesimal y la confianza de Newton en la matemática como instrumento de investigación de la naturaleza y de expresión de sus leyes.

Newton no usó el Cálculo Infinitesimal en sus “Principia”. Cosa lógica porque quería que lo entendiesen y no iba a escribir una teoría nueva en una matemática también nueva y desconocida.  Por eso el libro es difícil de leer para nosotros que estamos acostumbrados al cálculo integral y diferencial, en lugar de las demostraciones de Newton al modo geométrico de Euclides.

La influencia de “Los Elementos” de Euclides en “Principia” no es sólo en la forma, pues la estructuración del “Principia” es al modo matemático de “Los Elementos” con axiomas o postulados de los que se deducen las leyes o teoremas que describen el mundo físico. Gracias a la estructura euclídea y a su ley de atracción universal explicó un gran conjunto de fenómenos previamente no relacionados, como los movimientos de planetas y satélites, las órbitas excéntricas de los cometas, las mareas y sus variaciones, la precesión del eje de la Tierra, el movimiento de cuerpos en caída libre, en medios resistentes y no resistentes, de proyectiles y de péndulos.

Conclusiones
Parece innegable que Los Elementos han sido un factor significativo en muchos descubrimientos y sueños científicos. No sería aventurado suponer que el espíritu de Los Elementos estuvo junto a la idea medieval de encontrar una Característica Universal que permitiese la deducción absoluta y el captar cualquier esencia. 

Este deseo lo resucitó Leibniz (imagen de la izquierda) en 1666 con su trabajo Disertación sobre el arte de la Combinatoria, intentando reducir todos los razonamentos y descubrimientos a una combinación de elementos básicos , como números, letras, sonidos y colores. Leibniz quería proporcionar un lenguaje simbólico al que se pudiesen trasladar todos los procesos del razonamiento para garantizar la corrección en la argumentación.

Se dice que los matemáticos, se declaren o no platónicos, casi siempre trabajan como si lo fuesen. El austriaco Kurt Gödel (1906 -1978), a quien debemos el teorema de incompletitud de la aritmética, decía que su platonismo le ayudó mucho en sus descubrimientos.

Me atrevería a decir que los científicos, hayan leído o no Los Elementos de Euclides, trabajan como si fuesen sus discípulos, pues los mensajes de Los Elementos conforman una parte de lo que llamamos mentalidad científica, cuyo rostro será más humano si no olvida que nació de la fusión de aportaciones orientales y occidentales. He intentado justificar que Euclides fue mucho más que un gran recopilador, pues le debemos la formalización en “Los Elementos” de un método científico que seguimos utilizando, y al que se debe, en palabras y sentimiento del poeta Paul Verlaine, que las Matemáticas sea la más bella de las Ciencias.

Fuente : vida los 13 libros de Euclides

Salu2 a tos@s y Felíz cumpleaños al doctor Johan pues hoy esta de cumpleaños

Mr. Moon.
La vida es un 10% como viene y un 90% como la tomamos.